分数

File:Disambig gray.svg此条目介绍的是数学概念的分数。关于其他领域的分数，请见“得分”。

File:Cake quarters.svg

取出四份之一蛋糕。图中显示剩余的蛋糕是四份之三。蛋糕上的虚线表示可以把蛋糕进行切割分成相等的部分。每一个蛋糕被表示为分数¼。

分数（英语：fraction）是用分式（分数式）表达成<math>\frac{a}{b}</math>的数（<math>a, b \in Z, b\neq 0</math>）。在上式之中，<math>b</math>称为分母（denominator）而<math>a</math>称为分子（numerator），可视为某件事物平均分成<math>b</math>份中占<math>a</math>份，读作“<math>b</math>分之<math>a</math>”。中间的线称为分线或分数线。有时人们会用<math>a/b</math>来表示分数。

用法

分数有各种不同的用法与意义：

• 两个整数的比例：<math>\frac{a}{b} \equiv a:b\ (a, b \in \mathbb{Z}, a, b \neq 0)</math>，这是两个数量的比较关系。
• 有理数：可以表达为两个整数的分数的数称为有理数。就数系来说，整数分数与有理数是同义词。
• 整数除法：<math>\frac{a}{b} \equiv a \div b \ (a, b \in \mathbb{Z}, b \neq 0)</math>，结果会是一个整数、有限小数或循环小数。
• 等分：<math>\frac{1}{3}</math>表示将全部分成三等份，然后只取其中的一份。这称为单位分数（unit fraction），参见古埃及分数。<math>\frac{1}{3}</math>也就是<math>3</math>这个整数的倒数。

这些概念在数学里都是相通的，只是在不同的使用场合中有其实际意义。

分类

最简分数（既约分数）（irreducible fraction）

分子是整数，分母是正整数，且分子和分母互素的分数。例如：<math>\frac{4}{~{}15~{}}</math>

真分数（proper fraction）

除商小于1、大于0的分数，即分子小于分母的分数。当分子一样大的时候，分母越大则值就越小，当分母一样的时候，分子越大，数值就越大。例如：<math>\frac{3}{~{}7~{}}</math>

假分数（top-heavy/improper fraction）

假分数是指除商不小于1的分数，即分子等于或大于分母的分数，可写成带分数。例如：<math>\frac{5}{~{}3~{}}</math>和<math>\frac{8}{~{}8~{}}</math>

带分数（mixed numeral、mixed fraction、mixed number）

一个整数（whole number）加一个真分数，例如<math>a \frac{b}{c}</math>，读作“a又c分之b”；又例如<math>1 \frac{1}{~{}2~{}}</math>，就是一又二分之一。可写成假分数，与<math>\frac{~{}( a \times c ) + b~{}}{c}</math>等价。

十进制分数（decimal fraction）

分母为<math>10</math>的次方的分数称为十进制分数，通常使用小数的形式来表达，例如，<math>\frac{1}{100}</math>一般记为<math>0.01</math>，也可以百分率简记为<math>1\%</math>，或是以<math>10</math>的幂记为<math>10^{-2}</math>。

单位分数

分子为1，分母是整数的分数。也可视为该整数的倒数。例如：<math>\frac{1}{~{}99~{}}</math>

古埃及分数（Egyptian fraction）

将分数表达成单位分数之和。例如：<math>\frac{19}{~{}20~{}} = \frac{1}{~{}2~{}} + \frac{1}{~{}3~{}} + \frac{1}{~{}9~{}}+ \frac{1}{~{}180~{}}</math>

繁分数

分子和/或分母包含了分数的分数，例如<math>\frac{~{} \frac{a}{~{} b~{} }~{} }{\frac{c}{~{} d~{} }}</math>。可以用“外乘外、内乘内”的方法简化，即前面的式子等于<math>\frac{ad}{~{}bc~{}}</math>。

连分数

外观如<math>x = a_0 + \frac{1}{~{}a_1 + \frac{1}{~{}a_2 + \frac{1}{~{}a_3+\dots}}} </math>的分数，其中<math>a_i</math>是整数。若只有有限个<math>a_i</math>非零，则连分数是一个分数。

分数运算

分数如自然数般，跟从互联律、结合律、分配律和反除以零的规则。

约分、扩分及通分

一个分数约分后或扩分后，其分数与原来之分数的值相等，称为等值分数。

约分

约分（reduction of a fraction）是将一个分数的分子和分母同除以一个比1大的整数（它们的公因数）。汉语“约”则是简化估量的意思。

约分后的分数和原来分数的值相等。<math> \frac{3}{6}=\frac {1}{2}</math>

前面的数字的分子和分母皆除以三

扩分

扩分（expansion of a fraction）是将一个分数的分子和分母同乘以比1大的数。扩分后的分数和原来分数的值相等。<math> \frac {1}{2}=\frac{2}{4}</math>

前面的数字的分子和分母皆乘以二

通分

通分（reduction of fractions to a common denominator）是利用约分或扩分，将两个分母不同的分数，分别化为同分母的分数。

加法及减法

笔算分数的加减法时，必须将分母用予倍的方法化成同一数字才能进行同级分数之和或差，这个过程称为“扩分”、“通分”、“通分母扩分子”等等，为了方便地求得所须分母，计算时一般以加数和被加数的最小公倍数作为新的分母。然后将事先倍大了的分子加上，合成和后再作约简。例如：

• <math>\frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1+1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}</math>
• <math>\frac{1}{5} + \frac{1}{3} = \frac{3}{15} + \frac{5}{15} = \frac{3+5}{15} = \frac{8}{15}</math>

乘法及除法

分数乘法最晚在中国秦代即有，里耶秦简博物馆馆长彭成刚表示：里耶秦简秦朝“九九表”每枚木牍上竖写的数字连起来就是一个乘法运算，更为惊奇的是，中国当时还出现了分数乘法，例如二乘以二分之一等于一。分数的乘除无视分子母的特性，将分子和分母各自处理便可，但是由于整数除法亦容易引起小数，加上不适合出现于分数形式，而且除法也是乘法的逆函数，故此计算时一般将被除数化成其倒数，把除法改为乘法较为方便。例如：

<math>\quad \frac{1}{5} \div \frac{7}{11} = ( \frac{1}{5} \times 11 ) \div ( \frac{7}{11} \times 11 ) = ( \frac{1}{5} \times 11) \div 7 = ( \frac{1}{5} \times 11 \times \frac{1}{7}) \div ( 7 \times \frac{1}{7} )</math>

<math>= \frac{1}{5} \times \frac{11}{7} = \frac{1 \times 11}{5 \times 7} = \frac{11}{35}</math>

相关话题

• 有理数
• 倒数
• 除以零
• 法里数列
• 连分数
• 分母有理化
• 偶然对消

外部链接

• Fraction, arithmetical. The Online Encyclopaedia of Mathematics. [2015-06-03]. （原始内容存档于2014-10-21）. 
• 埃里克·韦斯坦因. Fraction. MathWorld. 
• Fraction. Encyclopedia Britannica. [2015-06-03]. （原始内容存档于2015-04-26）. 
• Fraction (mathematics). Citizendium. [2015-06-03]. （原始内容存档于2020-11-07）. 
• Fraction. PlanetMath. [2015-06-03]. （原始内容存档于2011-10-11）. 
• Online program for exact conversion between fractions and decimals
• Online Fractions Calculator with detailed solution
• Fraction Practice （页面存档备份，存于互联网档案馆） endless numbers of Fraction problems with various levels of difficulties.