等比数列
等比数列，是数列的一种。在等比数列中，任何相邻两项的比例相等，该比值称为公比。因为数列中的任意一项都等于相邻两项的几何平均数，所以又名几何数列（英语：Geometric progression）。
例如数列：
- <math>3, 6, 12, 24, 48, 96, ...</math>
就是一个等比数列。在这个数列中，从第二项起，每项与其前一项之公比都等于<math>2</math>。
性质[编辑]
如果一个等比数列的首项记作<math>a</math>，公比记作<math>r</math>，那么该等比数列第<math>n</math>项<math>a_n</math>的一般项为：
- <math>a_n=ar^{n-1}</math>
换句话说，任意一个等比数列<math>\{a_n\}</math>都可以写成
- <math>\{a\,,\,\,ar\,,\,\,ar^2\,,\,\cdots\,,\,\,ar^{n-1}\}</math>
在一个等比数列中，给定任意两相连项<math>a_{n+1}</math>和<math>a_n</math>（其中<math>a_n\ne0</math>），可知公比
- <math>r=\frac{a_{n+1}}{a_n}</math>
给定任意两项<math>a_m</math>和<math>a_n</math>，则有公比
- <math>r=\sqrt[m-n]{\frac{a_m}{a_n}}</math>
这里注意，若<math>m-n</math>是偶数，则公比可取此结果的正值或负值。
此外，在一个等比数列中，选取某一项，该项的前一项与后一项之积，为原来该项的平方。举例来说，<math>a_1\times a_3={a_2}^2</math>。
更一般地说，有：
- <math>a_{n-1}\times a_{n+1}={a_n}^2</math>
证明如下：
- <math>\begin{align}
a_{n-1}\times a_{n+1} & = ar^{n-2}\times ar^n \\ & = a^2 \times r^{2n-2} \\ & = (ar^{n-1})^2 \\ & = {a_n}^2 \\ \end{align}</math>
证毕。
从另一个角度看，等比数列中的任意一项，是其相邻两项的几何平均：
- <math>a_n=\pm \sqrt{a_{n-1}\cdot a_{n+1}}</math>
此结果从上面直接可得。
如果有整数<math>m,n,p,q</math>，使得 <math>m+n=p+q</math>，那么则有：
- <math>a_m\cdot a_n=a_p\cdot a_q</math>
证明如下：
- <math>\begin{align}
a_m \cdot a_n &=ar^{m-1} \cdot ar^{n-1} \\ &=a^2 r^{m+n-2} \\ &=a^2 r^{p+q-2} \\ &=ar^{p-1} \cdot ar^{q-1} \\ &=a_p \cdot a_q \\ \end{align}</math>
由此可将上面的性质一般化成：
- <math>a_{n-k} \cdot a_{n+k}={a_n}^2</math>
- <math>a_n=\pm \sqrt{a_{n-k}\cdot a_{n+k}}</math>
其中<math>k</math>是一个小于<math>n</math>的正整数。
给定一个等比数列 <math>\{a_n\}</math>，则有：
- <math>\{b\cdot a_n\}</math> 是一个等比数列。
- <math>\{\frac{b}{a_n}\}</math> 是一个等比数列。
- <math>\{\log_b(a_n)\}</math> 是一个等差数列。
从等比数列的一般项可知，任意一个可以写成
- <math>a_n=pq^n</math>
形式的数列，都是一个等比数列，其中公比<math>r=q</math>，首项<math>a=pq</math>。
公比[编辑]
公比（英语：Common ratio）是对于等比数列这一特殊数列而言的，它是指在等比数列中后一项与前一项的商。
等比数列的通项公式[编辑]
等比数列都满足：<math>\frac {a_n} {a_{n-1}} = q</math>。例如，数列3、9、27、81......的公比是3。注意公比不能是0（因为<math>N\div 0</math>），否则为未定义。
等比数列和[编辑]
一个等比数列的首<math>n</math>项之和，称为等比数列和（sum of geometric sequence）或几何级数（geometric series），记作<math>S_n</math>。
举例来说，等比数列<math>\{1,2,4,8\}</math>的和是<math>1+2+4+8=15</math>。
等比数列求和的公式如下：
- <math>S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}</math>
其中<math>a</math>为首项，<math>n</math>为项数，<math>r</math>为公比，且<math>r\ne1</math>。
公式证明如下：
将等比数列和写作以下形式：
- <math>S_n=a+ar+ar^2+\cdots+ar^{n-1}</math> ……(1)
将两边同乘以公比 r，有：
- <math>rS_n=ar+ar^2+\cdots+ar^n</math> ……(2)
(1)式减去(2)式，有：
- <math>(1-r)S_n=a-ar^n</math>
当<math>r\ne1</math>时，整理后得证。
当<math>r=1</math>时，可以发现：
- <math>\begin{align}
S_n & = a +ar+ar^2+\cdots+ar^{n-1} \\ & = \begin{matrix} \underbrace {a+a+a+\cdots+a} \\ n \end{matrix} \\ & = n \times a \\ & = an \\ \end{align}</math>
综上所述，等比数列的求和公式为：
- <math>
S_n=\begin{cases} \frac{a(1-r^n)}{1-r}&r\neq1\\ an&r=1 \end{cases} </math>
当<math>-1<r<1</math>时，注意到
- <math>\lim_{n\rightarrow\infty}r^n=0</math>
因此，我们可得无限项之和（sum to infinity）的公式为
- <math>S_{\infty}=\frac{a}{1-r}</math>
由此可见，当<math>-1<r<1</math>时，几何级数会收敛到一个固定值。
等比数列积[编辑]
一个等比数列的首<math>n</math>项之积，称为等比数列积（product of geometric sequence），记作<math>P_n</math>。
举例来说，等比数列<math>\{1,2,4,8\}</math>的积是<math>1\times2\times4\times8=64</math>。
等比数列求积的公式如下：
- <math>P_n=a^n \cdot r^{\frac{n(n-1)}{2}}</math>
证明如下：
- <math>\begin{align}
P_n&=a\cdot ar \cdot ar^2 \cdot \cdots \cdot ar^{n-1} \\ &=a^n \cdot r^{0+1+2+\cdots+(n-1)}\\ &=a^n \cdot r^{\frac{n(n-1)}{2}} \\ \end{align}</math>
第二步，公比<math>r</math>的指数中，0来自于数列的第一项。最后一步，使用了等差数列的求和公式，通项为<math>n-1</math>。
参见[编辑]
参考文献[编辑]
- Bhardwaj, S., Abiy, T., Kulkarni, O., et al. "Geometric Progressions." From Brilliant. https://brilliant.org/wiki/geometric-progressions/ （页面存档备份，存于互联网档案馆）.
- Weisstein, Eric W. "Geometric Sequence." From MathWorld—A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/GeometricSequence.html （页面存档备份，存于互联网档案馆）.
- Weisstein, Eric W. "Geometric Series." From MathWorld—A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/GeometricSeries.html （页面存档备份，存于互联网档案馆）.
