数域

数域（number field）又称数体，是近世代数学中常见的概念，指对加减乘除四则运算封闭的代数结构。通常定义的数域是指复数域<math>\mathbb{C}</math>的子域。“数域”一词有时也被用作代数数域的简称，但两者的定义有细微的差别。

定义

设<math>\mathcal{P}</math>是复数域<math>\mathbb{C}</math>的子集。若<math>\mathcal{P}</math>中包含0与1，并且<math>\mathcal{P}</math>中任两个数的和、差、乘积以及商（约定除数不为0）都仍在<math>\mathcal{P}</math>中，就称<math>\mathcal{P}</math>为一个数域。用域论的话语来说，复数域的子域是为数域。

任何数域都包括有理数域<math>\mathbb{Q}</math>，但并不一定是<math>\mathbb{Q}</math>的有限扩张，因此数域不一定是代数数域。例如实数域<math>\mathbb{R}</math>和复数域<math>\mathbb{C}</math>都不是代数数域。反之，每个代数数域都同构于某个数域。

例子

除了常见的实数域<math>\mathbb{R}</math>和复数域<math>\mathbb{C}</math>以外，通过在有理数域中添加特定的无理数进行扩张得到的扩域也是数域。例如所有形同：

<math>a + b\sqrt{2}, \; \; a, b \in \mathbb{Q}</math>

的数的集合，就是一个数域。可以验证，任何两个这样的数，它们的和、差、乘积以及商（约定除数不为0）都能写成<math>a+b\sqrt{2}</math>的形式，故仍然在集合之中。这个集合记作<math>\mathbb{Q}(\sqrt{2})</math>，是有理数域<math>\mathbb{Q}</math>的二次扩域。

可构造数

可构造数也叫规矩数，指的是从给定的单位长度开始，能够通过有限次标准的尺规作图步骤做出的长度数值。所有可构造数的集合记为<math>\mathcal{C}</math>，是一个数域。因为给定了两个已经做出的线段后，可以通过符合尺规作图规定的手段，在有限步内作出长度为两者长度之和、差、乘积以及商的线段。<math>\mathcal{C}</math>是<math>\mathbb{Q}</math>的扩域，次数为无限大，是实数域<math>\mathbb{R}</math>的子域。

代数数

代数数指能够成为某个有理系数多项式的根的数。所有代数数的集合记作<math>\mathcal{A}</math>，是一个数域。<math>\mathcal{A}</math>也常被称为代数数域，但与定义为“<math>\mathbb{Q}</math>的有限扩张”的代数数域是不同的概念。不过，每个<math>\mathbb{Q}</math>的有限扩张生成的域都可看作是<math>\mathbb{Q}</math>中加入某个代数数扩成的，所以都是<math>\mathcal{A}</math>的子域。可构造数构成的数域<math>\mathcal{C}</math>也是<math>\mathcal{A}</math>的子域。由于虚数单位i也是代数数，所以<math>\mathcal{A}</math>不是<math>\mathbb{R}</math>的子域。另一方面，自然对数的底e以及圆周率π都不是代数数，所以<math>\mathbb{R}</math>也不是<math>\mathcal{A}</math>的子域。