序列

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File:Cauchy sequence illustration2.png

一个实数的无限序列（蓝色）。这个序列既不是递增的也不是递减的更不是收敛的，但它是有界的。

序列（英語：Sequences）在数学中是指被排成一列的數學實體（如數字、函數），其中常见的就是排成一列的数，即数列。

正式定义

序列的定義

<math>S</math> 是一個集合，那

• 函数 <math>f: \N \to S</math> 被稱為「定義在 <math>S</math> 上的 無窮序列」。而函數值 <math>f(i)</math> 可簡記為 <math>f_i</math>，甚至函數 <math>f</math> 本身也可記為 <math>{\{f_i\

_{i\in\N}</math>。

• 給定一個正整數 <math>n\in\N</math> ，那函数 <math>g: \{1,\,2,...,\,n\} \to S</math> 被稱為「定義在 <math>S</math> 上的 有限序列」。通常將 <math>g(j)</math> 簡記為 <math>g_j</math>，且 <math>g</math> 本身也記為 <math>{\{g_j\}}^n_{j=1}</math>。
• 函數<math>h:\Z\to S</math> 被称為「定義在 <math>S</math> 上的 双无限序列」。

}}

直觀上就是用數碼去標記一列數學實體（如數字、函數）。

例子和符号

例如，(C,Y,R)是一个字母的序列：顺序是C第一，Y第二，R第三。序列可以是有限的（就像前面这个例子），也可以是无限的，就像所有正偶数的序列（2,4,6,...）。有限序列包含空序列（），它没有元素。序列中的元素也称为项，项的个数（可能是无限的）称为序列的长度。

序列的形式和性质

• 一个给定序列的子序列是从给定序列中去除一些元素，而不改变其他元素之间相对位置而得到的。
• 若序列的项属于一个偏序集，则单调递增序列就是其中每个项都大于等于之前的项；若每个项都严格大于之前的项，这个序列就是严格单调递增的。类似可定义单调递减序列。单调序列是单调函数的一个特例。
• 由整数组成的序列称为整数列；由多项式组成的序列称为多项式列。
• 若S具有拓扑，那么就可以讨论S中的无限序列的收敛。请详见極限。
• 由数组成的序列称为数列；由数列的部分和组成的序列称为级数，例如：

<math>\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\cdots+\frac{1}{2^{n}} =

1- {\left(\frac{1}{2}\right)}^{n} = \frac{2^{n}-1}{2^{n}}.</math>

应用

计算机领域

有限的序列称为列表（lists）。有限的字符串序列称为字符串（string）。无限的序列称为字符串流（stream）。

參考文獻

• Последовательность. Энциклопедический словарь юного математика. М.: Педагогика. Сост. А. П. Савин. 1985 （русский）.  （俄文）

参见

• 柯西序列
• 网 (数学)（序列的推广）
• 序列空间
• 数列
• 整數數列線上大全

外部連結

• Sequence, 数学百科全书, EMS Press, 2001 （English） 
• The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Journal of Integer Sequences （页面存档备份，存于互联网档案馆） (free)
• Sequence. PlanetMath. 
• 整数数列在线大全