等比數列
等比數列，是數列的一種。在等比數列中，任何相鄰兩項的比例相等，該比值稱為公比。因為數列中的任意一項都等於相鄰兩項的幾何平均數，所以又名幾何數列（英語：Geometric progression）。
例如數列：
- <math>3, 6, 12, 24, 48, 96, ...</math>
就是一個等比數列。在這個數列中，從第二項起，每項與其前一項之公比都等於<math>2</math>。
性質[編輯]
如果一個等比數列的首項記作<math>a</math>，公比記作<math>r</math>，那麼該等比數列第<math>n</math>項<math>a_n</math>的一般項為：
- <math>a_n=ar^{n-1}</math>
換句話說，任意一個等比數列<math>\{a_n\}</math>都可以寫成
- <math>\{a\,,\,\,ar\,,\,\,ar^2\,,\,\cdots\,,\,\,ar^{n-1}\}</math>
在一個等比數列中，給定任意兩相連項<math>a_{n+1}</math>和<math>a_n</math>（其中<math>a_n\ne0</math>），可知公比
- <math>r=\frac{a_{n+1}}{a_n}</math>
給定任意兩項<math>a_m</math>和<math>a_n</math>，則有公比
- <math>r=\sqrt[m-n]{\frac{a_m}{a_n}}</math>
這裏注意，若<math>m-n</math>是偶數，則公比可取此結果的正值或負值。
此外，在一個等比數列中，選取某一項，該項的前一項與後一項之積，為原來該項的平方。舉例來說，<math>a_1\times a_3={a_2}^2</math>。
更一般地說，有：
- <math>a_{n-1}\times a_{n+1}={a_n}^2</math>
證明如下：
- <math>\begin{align}
a_{n-1}\times a_{n+1} & = ar^{n-2}\times ar^n \\ & = a^2 \times r^{2n-2} \\ & = (ar^{n-1})^2 \\ & = {a_n}^2 \\ \end{align}</math>
證畢。
從另一個角度看，等比數列中的任意一項，是其相鄰兩項的幾何平均：
- <math>a_n=\pm \sqrt{a_{n-1}\cdot a_{n+1}}</math>
此結果從上面直接可得。
如果有整數<math>m,n,p,q</math>，使得 <math>m+n=p+q</math>，那麼則有：
- <math>a_m\cdot a_n=a_p\cdot a_q</math>
證明如下：
- <math>\begin{align}
a_m \cdot a_n &=ar^{m-1} \cdot ar^{n-1} \\ &=a^2 r^{m+n-2} \\ &=a^2 r^{p+q-2} \\ &=ar^{p-1} \cdot ar^{q-1} \\ &=a_p \cdot a_q \\ \end{align}</math>
由此可將上面的性質一般化成：
- <math>a_{n-k} \cdot a_{n+k}={a_n}^2</math>
- <math>a_n=\pm \sqrt{a_{n-k}\cdot a_{n+k}}</math>
其中<math>k</math>是一個小於<math>n</math>的正整數。
給定一個等比數列 <math>\{a_n\}</math>，則有：
- <math>\{b\cdot a_n\}</math> 是一個等比數列。
- <math>\{\frac{b}{a_n}\}</math> 是一個等比數列。
- <math>\{\log_b(a_n)\}</math> 是一個等差數列。
從等比數列的一般項可知，任意一個可以寫成
- <math>a_n=pq^n</math>
形式的數列，都是一個等比數列，其中公比<math>r=q</math>，首項<math>a=pq</math>。
公比[編輯]
公比（英語：Common ratio）是對於等比數列這一特殊數列而言的，它是指在等比數列中後一項與前一項的商。
等比數列的通項公式[編輯]
等比數列都滿足：<math>\frac {a_n} {a_{n-1}} = q</math>。例如，數列3、9、27、81......的公比是3。注意公比不能是0（因為<math>N\div 0</math>），否則為未定義。
等比數列和[編輯]
一個等比數列的首<math>n</math>項之和，稱為等比數列和（sum of geometric sequence）或幾何級數（geometric series），記作<math>S_n</math>。
舉例來說，等比數列<math>\{1,2,4,8\}</math>的和是<math>1+2+4+8=15</math>。
等比數列求和的公式如下：
- <math>S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}</math>
其中<math>a</math>為首項，<math>n</math>為項數，<math>r</math>為公比，且<math>r\ne1</math>。
公式證明如下：
將等比數列和寫作以下形式：
- <math>S_n=a+ar+ar^2+\cdots+ar^{n-1}</math> ……(1)
將兩邊同乘以公比 r，有：
- <math>rS_n=ar+ar^2+\cdots+ar^n</math> ……(2)
(1)式減去(2)式，有：
- <math>(1-r)S_n=a-ar^n</math>
當<math>r\ne1</math>時，整理後得證。
當<math>r=1</math>時，可以發現：
- <math>\begin{align}
S_n & = a +ar+ar^2+\cdots+ar^{n-1} \\ & = \begin{matrix} \underbrace {a+a+a+\cdots+a} \\ n \end{matrix} \\ & = n \times a \\ & = an \\ \end{align}</math>
綜上所述，等比數列的求和公式為：
- <math>
S_n=\begin{cases} \frac{a(1-r^n)}{1-r}&r\neq1\\ an&r=1 \end{cases} </math>
當<math>-1<r<1</math>時，注意到
- <math>\lim_{n\rightarrow\infty}r^n=0</math>
因此，我們可得無限項之和（sum to infinity）的公式為
- <math>S_{\infty}=\frac{a}{1-r}</math>
由此可見，當<math>-1<r<1</math>時，幾何級數會收斂到一個固定值。
等比數列積[編輯]
一個等比數列的首<math>n</math>項之積，稱為等比數列積（product of geometric sequence），記作<math>P_n</math>。
舉例來說，等比數列<math>\{1,2,4,8\}</math>的積是<math>1\times2\times4\times8=64</math>。
等比數列求積的公式如下：
- <math>P_n=a^n \cdot r^{\frac{n(n-1)}{2}}</math>
證明如下：
- <math>\begin{align}
P_n&=a\cdot ar \cdot ar^2 \cdot \cdots \cdot ar^{n-1} \\ &=a^n \cdot r^{0+1+2+\cdots+(n-1)}\\ &=a^n \cdot r^{\frac{n(n-1)}{2}} \\ \end{align}</math>
第二步，公比<math>r</math>的指數中，0來自於數列的第一項。最後一步，使用了等差數列的求和公式，通項為<math>n-1</math>。
參見[編輯]
參考文獻[編輯]
- Bhardwaj, S., Abiy, T., Kulkarni, O., et al. "Geometric Progressions." From Brilliant. https://brilliant.org/wiki/geometric-progressions/ （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）.
- Weisstein, Eric W. "Geometric Sequence." From MathWorld—A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/GeometricSequence.html （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）.
- Weisstein, Eric W. "Geometric Series." From MathWorld—A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/GeometricSeries.html （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）.
