F-分布

F分布

概率密度函数 File:F-distribution pdf.svg
累积分布函数 File:F dist cdf.svg
参数	<math>d_1>0,\ d_2>0</math>自由度
值域	<math>x \in [0; +\infty)\!</math>
概率密度函数	<math>\frac{\sqrt{\frac{(d_1\,x)^{d_1}\,\,d_2^{d_2

{(d_1\,x+d_2)^{d_1+d_2}}}} {x\,\mathrm{B}\!\left(\frac{d_1}{2},\frac{d_2}{2}\right)}\!</math> |cdf = <math>I_{\frac{d_1 x}{d_1 x + d_2}}(d_1/2, d_2/2)\!</math> |mean = <math>\frac{d_2}{d_2-2}\!</math> for <math>d_2 > 2</math> |median = |mode = <math>\frac{d_1-2}{d_1}\;\frac{d_2}{d_2+2}\!</math> for <math>d_1 > 2</math> |variance = <math>\frac{2\,d_2^2\,(d_1+d_2-2)}{d_1 (d_2-2)^2 (d_2-4)}\!</math> for <math>d_2 > 4</math> |skewness = <math>\frac{(2 d_1 + d_2 - 2) \sqrt{8 (d_2-4)}}{(d_2-6) \sqrt{d_1 (d_1 + d_2 -2)}}\!</math>
for <math>d_2 > 6</math> |kurtosis = 见下文 |entropy = |mgf = |char = }}

在概率论和统计学里，F-分布（F-distribution）是一种连续概率分布，被广泛应用于似然比率检验，特别是ANOVA中。

定义

如果随机变量 X 有参数为 d₁ 和 d₂ 的 F-分布，我们写作 X ~ F(d₁, d₂)。那么对于实数 x ≥ 0，X 的概率密度函数 (pdf)是

<math>

\begin{align} f(x; d_1,d_2) &= \frac{\sqrt{\frac{(d_1\,x)^{d_1}\,\,d_2^{d_2}} {(d_1\,x+d_2)^{d_1+d_2}}}} {x\,\mathrm{B}\!\left(\frac{d_1}{2},\frac{d_2}{2}\right)} \\ &=\frac{1}{\mathrm{B}\!\left(\frac{d_1}{2},\frac{d_2}{2}\right)} \left(\frac{d_1}{d_2}\right)^{\frac{d_1}{2}} x^{\frac{d_1}{2} - 1} \left(1+\frac{d_1}{d_2}\,x\right)^{-\frac{d_1+d_2}{2}} \end{align} </math>

这里<math>\mathrm{B}</math>是B函数。在很多应用中，参数 d₁ 和 d₂ 是正整数，但对于这些参数为正实数时也有定义。

累积分布函数为

<math>F(x; d_1,d_2)=I_{\frac{d_1 x}{d_1 x + d_2}}\left (\tfrac{d_1}{2}, \tfrac{d_2}{2} \right) ,</math>

其中 I 是正则不完全贝塔函数。

右边表格中已给出期望、方差和偏度；对于<math>d_2>8</math>，峰度为：

<math>\gamma_2 = 12\frac{d_1(5d_2-22)(d_1+d_2-2)+(d_2-4)(d_2-2)^2}{d_1(d_2-6)(d_2-8)(d_1+d_2-2)}</math>.

特征

一个F-分布的随机变量是两个卡方分布变量除以自由度的比率：

<math>

\frac{U_1/d_1}{U_2/d_2} = \frac{U_1/U_2}{d_1/d_2}

</math>

其中：

• U₁和U₂呈卡方分布，它们的自由度（degree of freedom）分别是d₁和d₂。
• U₁和U₂是相互独立的。

参见

• F检验