Β函数
Β函数，又称为贝塔函数或第一类欧拉积分，是一个特殊函数，由下式定义：
- <math>
\mathrm{\Beta}(x,y) = \int_0^1t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,\mathrm{d}t
\!</math>
其中<math>\textrm{Re}(x), \textrm{Re}(y) > 0\,</math>。
性质[编辑]
Β函数具有以下对称性质：
- <math>
\Beta(x,y) = \Beta(y,x).
\!</math> 当<math>x</math>, <math>y</math>是正整数的时候，我们可以从阶乘或是伽马函数其中<math>\Gamma(x)\,</math>得到如下式子：
- <math>
\Beta(x,y)=\dfrac{(x-1)!\,(y-1)!}{(x+y-1)!}
\!</math>
它有许多其它的形式，包括：
- <math>
\Beta(x,y)=\dfrac{\Gamma(x)\,\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}
\!</math>
- <math>
\Beta(x,y) =
2\int_0^{\frac{\pi}{2}}(\sin\theta)^{2x-1}(\cos\theta)^{2y-1}\,\mathrm{d}\theta,
\qquad \textrm{Re}(x)>0,\ \textrm{Re}(y)>0
\!</math>
- <math>
\Beta(x,y) =
\int_0^\infty\dfrac{t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}}\,\mathrm{d}t,
\qquad \textrm{Re}(x)>0,\ \textrm{Re}(y)>0
\!</math>
- <math>
\Beta(x,y) =
\sum_{n=0}^\infty \dfracTemplate:N-y \choose n {x+n},
\!</math>
- <math>
\Beta(x,y) = \prod_{n=0}^\infty \left( 1+ \dfrac{x y}{n (x+y+n)}\right)^{-1},
\!</math>
- <math>
\Beta(x,y) \cdot \Beta(x+y,1-y) =
\dfrac{\pi}{x \sin(\pi y)},
\!</math>
- <math>
\Beta(x,y) =
\dfrac{1}{y}\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\dfrac{y^{n+1}}{n!(x+n)}
\!</math>
就像伽玛函数描述了阶乘一样，我们也可以用贝塔函数来定义二项式系数：
- <math>{n \choose k} = \frac1{(n+1) \Beta(n-k+1, k+1)}</math>
伽玛函数与贝塔函数之间的关系[编辑]
为了推出两种函数之间的关系，我们把两个阶乘的乘积写为：
- <math>
\Gamma(x)\Gamma(y) =
\int_0^\infty\ e^{-u} u^{x-1}\,\mathrm{d}u \int_0^\infty\ e^{-v} v^{y-1}\,\mathrm{d}v.
\!</math>
现在，设<math>u = a^2</math>, <math>v = b^2</math>，因此：
- <math>\begin{align}
\Gamma(x)\Gamma(y) & {} =
4\int_0^\infty\ e^{-a^2} a^{2x-1}\mathrm{d}a \int_0^\infty\ e^{-b^2} b^{2y-1}\,\mathrm{d}b \\
& {} = \int_{-\infty}^\infty\ \int_{-\infty}^\infty\ e^{-(a^2+b^2)} |a|^{2x-1} |b|^{2y-1} \,\mathrm{d}a \,\mathrm{d}b. \end{align} \!</math>
利用变量代换<math>a = r\cos\theta</math>和<math>b = r\sin\theta</math>，可得：
- <math>\begin{align}
\Gamma(x)\Gamma(y) & {} =
\int_0^{2\pi}\ \int_0^\infty\ e^{-r^2} |r\cos\theta|^{2x-1} |r\sin\theta|^{2y-1} r \, \mathrm{d}r \,\mathrm{d}\theta \\
& {} = \int_0^\infty\ e^{-r^2} r^{2x+2y-2} r\, \mathrm{d}r \int_0^{2\pi}\ |(\cos\theta)^{2x-1} (\sin\theta)^{2y-1}| \, \mathrm{d}\theta \\ & {} = \frac{1}{2}{\color{red}{\int_0^\infty\ e^{-r^2} r^{2(x+y-1)}\, \mathrm{d}(r^2)}} \, 4\int_0^{\frac{\pi}{2}}\ (\cos\theta)^{2x-1} (\sin\theta)^{2y-1} \,\mathrm{d}\theta \\ & {} = {\color{red}{\Gamma(x+y)}} \, 2\int_0^{\frac{\pi}{2}}\ (\cos\theta)^{2x-1} (\sin\theta)^{2y-1} \, \mathrm{d}\theta \\ & {} = \Gamma(x+y) \Beta(x,y). \end{align} </math>
因此，有：
- <math>
\Beta(x,y) = \frac{\Gamma(x)\,\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}.
</math>
导数[编辑]
贝塔函数的导数是：
- <math>{\partial \over \partial x} \mathrm{B}(x, y) = \mathrm{B}(x, y) \left( {\Gamma'(x) \over \Gamma(x)} - {\Gamma'(x + y) \over \Gamma(x + y)} \right) = \mathrm{B}(x, y) (\psi(x) - \psi(x + y))</math>
其中<math>\psi(x)</math>是双伽玛函数。
估计[编辑]
斯特灵公式给出了一个用来近似计算贝塔函数的公式：
- <math>\Beta(x,y)\approx\sqrt {2\pi } \frac{{x^{x - \frac{1}{2}} y^{y - \frac{1}{2}} }}{{\left( {x + y} \right)^{x + y - \frac{1}{2}} }}.</math>
不完全贝塔函数[编辑]
不完全贝塔函数是贝塔函数的一个推广，把贝塔函数中的定积分用不定积分来代替，就像不完全伽玛函数是伽玛函数的推广一样。
不完全贝塔函数定义为：
- <math> \Beta(x;\,a,b) = \int_0^x t^{a-1}\,(1-t)^{b-1}\,dt. \!</math>
当<math>x=1</math>，上式即化为贝塔函数。
正则不完全贝塔函数（或简称正则贝塔函数）由贝塔函数和不完全贝塔函数来定义：
- <math> I_x(a,b) = \dfrac{\Beta(x;\,a,b)}{\Beta(a,b)}. \!</math>
当<math>a</math>和<math>b</math>是整数时，计算以上的积分（可以用分部积分法），可得：
- <math> I_x(a,b) = \sum_{j=a}^{a+b-1} {(a+b-1)! \over j!(a+b-1-j)!} x^j (1-x)^{a+b-1-j}. </math>
正则不完全贝塔函数是Β分布的累积分布函数，可由二项式分布描述一个实随机变量<math>X</math>的几率分布：
<math> F(k;n,p) = \Pr(X \le k) = I_{1-p}(n-k, k+1) = 1 - I_p(k+1,n-k) </math>
其中<math>p</math>为试验成功几率，<math>n</math>为样本数。
性质[编辑]
- <math> I_0(a,b) = 0 \, </math>
- <math> I_1(a,b) = 1 \, </math>
- <math> I_x(a,b) = 1 - I_{1-x}(b,a) \, </math>
参见[编辑]
参考文献[编辑]
- M. Zelen and N. C. Severo. in Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972. （See §6.2, 6.6, and 26.5） （页面存档备份，存于互联网档案馆）
- W. H. Press, B. P. Flannery, S. A. Teukolsky, W. T. Vetterling. Numerical Recipes in C. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1992. Second edition. (See section 6.4)
- 用拉普拉斯变换来计算贝塔函数. PlanetMath.