偏度

File:SkewedDistribution.png

偏度不为零的实验数据样本（小麦胚芽鞘的向地反应：1,790）

偏度（英语：skewness），亦称歪度，在概率论和统计学中衡量实数随机变量概率分布的不对称性。偏度的值可以为正，可以为负或者甚至是无法定义。在数量上，偏度为负（负偏态；左偏）就意味着在概率密度函数左侧的尾部比右侧的长，绝大多数的值（不一定包括中位数在内）位于平均值的右侧。偏度为正（正偏态；右偏）就意味着在概率密度函数右侧的尾部比左侧的长，绝大多数的值（不一定包括中位数）位于平均值的左侧。偏度为零就表示数值相对均匀地分布在平均值的两侧，但不一定意味着其为对称分布。

File:Negative and positive skew diagrams (English).svg

负偏态（左）和正偏态（右）

介绍

偏度分为两种：

• 负偏态或左偏态：左侧的尾部更长，分布的主体集中在右侧。。
• 正偏态或右偏态：右侧的尾部更长，分布的主体集中在左侧。。

如果分布对称，那么平均值=中位数，偏度为零（此外，如果分布为单峰分布，那么平均值=中位数=众数）。

定义

随机变量<math>X</math>的偏度<math>\gamma_1</math>为三阶标准矩，可被定义为：

<math>

   \gamma_1 = \operatorname{E}\Big[\big(\tfrac{X-\mu}{\sigma}\big)^{\!3}\, \Big] 
            = \frac{\mu_3}{\sigma^3} 
            = \frac{\operatorname{E}\big[(X-\mu)^3\big]}{\ \ \ ( \operatorname{E}\big[ (X-\mu)^2 \big] )^{3/2}}
            = \frac{\kappa_3}{\kappa_2^{3/2}}\ , 
 </math>

其中<math>\mu_3</math>是三阶中心矩，<math>\sigma</math>是标准差。<math>E</math>是期望算子。等式的最后以三阶累积量与二阶累积量的1.5次方的比率来表示偏度。这和用四阶累积量除去二阶累积量的平方来表示峰度的方法向类似。

偏度有时用<math>\mathrm{Skew}[X]</math>来表示。老教科书过去常常用<math>\sqrt{\beta_1}</math>来表示偏度，可是由于偏度可为负，这样的表示法较为不便。

对上面的等式进行扩展可导出用非中心矩E[X³]来表示偏度的公式：

<math>

   \gamma_1 
    = \operatorname{E}\bigg[\Big(\frac{X-\mu}{\sigma}\Big)^{\!3} \,\bigg] 
    = \frac{\operatorname{E}[X^3] - 3\mu\operatorname E[X^2] + 2 \mu^3}{\sigma^3}
    = \frac{\operatorname{E}[X^3] - 3\mu\sigma^2 - \mu^3}{\sigma^3}\ . 
 </math>

样本偏度

具有<math>n</math>个值的样本的样本偏度为：

<math>

   g_1 = \frac{m_3}{{m_2}^{3/2}} 
       = \frac{\tfrac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})^3}{\left(\tfrac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})^2\right)^{3/2}}\ ,
 </math>

其中<math>\overline{x}</math>是样本平均值，<math>m_3</math>是三阶样本中心矩，<math>m_2</math>是二阶样本中心距，即样本方差。

性质

当： <math>\Pr \left[ X > x \right]=x^{-3}\mbox{ for }x>1,\ \Pr[X<1]=0</math> 时，偏度可以是无穷大的。

或者当： <math>\Pr[X<x]=\frac{(1-x)^{-3}}{2}</math>（<math>x</math>为负）及

<math>\Pr[X>x]=\frac{(1+x)^{-3}}{2}</math>（<math>x</math>为正）时，偏度无法定义。

在后面的这个例子中，三阶累积量是无法定义的。 其他分布形式比如：

<math>\Pr \left[ X > x \right]=x^{-2}\mbox{ for }x>1,\ \Pr[X<1]=0</math>

二阶和三阶累积量是无穷大的，所以偏度也是无法定义的。

如果假定<math>Y</math>为<math>n</math>个独立变量之和并且这些变量和<math>X</math>具有相同的分布，那么<math>Y</math>的三阶累积量是<math>X</math>的<math>n</math>倍，<math>Y</math>的二阶累积量也是<math>X</math>的<math>n</math>倍，所以： <math>\mbox{Skew}[Y] = \frac{\mbox{Skew}[X]}{\sqrt{n}}</math>。根据中心极限定理，当其接近高斯分布时变量之和的偏度减小。

参见

• 峰度
• 中心矩

参考资料

• Groeneveld, RA; Meeden, G. Measuring Skewness and Kurtosis. The Statistician. 1984, 33 (4): 391–399 [2010-10-30]. doi:10.2307/2987742. （原始内容存档于2020-08-20）. 
• Johnson, NL, Kotz, S, Balakrishnan N (1994) Continuous Univariate Distributions, Vol 1, 2nd Edition Wiley ISBN 0-471-58495-9
• MacGillivray, HL. Shape properties of the g- and h- and Johnson families. Comm. Statistics - Theory and Methods. 1992, 21: 1244–1250.