Β分布

Β分布

概率密度函数 Probability density function for the Beta distribution
累积分布函数 Cumulative distribution function for the Beta distribution
参数	<math>\alpha > 0</math> <math>\beta > 0</math>
值域	<math>x \in (0; 1)\!</math>
概率密度函数	<math>\frac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1

{\mathrm{B}(\alpha,\beta)}\!</math>|

 cdf        =<math>I_x(\alpha,\beta)\!</math>|
 mean       =<math>\operatorname{E}[x] = \frac{\alpha}{\alpha+\beta}\!</math>
<math>\operatorname{E}[\ln x] = \psi(\alpha) - \psi(\alpha + \beta)\!</math>
(见双伽玛函数)|
 median     =<math>I_{0.5}^{-1}(\alpha,\beta)</math> 无解析表达|
 mode       =<math>\frac{\alpha-1}{\alpha+\beta-2}\!</math> for <math>\alpha>1, \beta>1</math>|
 variance   =<math>\frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}\!</math>|
 skewness   =<math>\frac{2\,(\beta-\alpha)\sqrt{\alpha+\beta+1}}{(\alpha+\beta+2)\sqrt{\alpha\beta}}</math>|
 kurtosis   =见文字|
 entropy    =见文字|
 mgf        =<math>1  +\sum_{k=1}^{\infty} \left( \prod_{r=0}^{k-1} \frac{\alpha+r}{\alpha+\beta+r} \right) \frac{t^k}{k!}</math>|
 char       =<math>{}_1F_1(\alpha; \alpha+\beta; i\,t)\!</math> (见合流超几何函数)|

}} Β分布，亦称贝它分布、Beta 分布（Beta distribution），在概率论中，是指一组定义在<math>(0,1)</math>区间的连续概率分布，有两个母数<math>\alpha, \beta>0</math>。

定义

概率密度函数

Β分布的概率密度函数是：

<math>

\begin{align} f(x;\alpha,\beta) & = \frac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}}{\int_0^1 u^{\alpha-1} (1-u)^{\beta-1}\, du} \\[6pt] & = \frac{\Gamma(\alpha+\beta)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}\, x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1} \\[6pt] & = \frac{1}{\mathrm{B}(\alpha,\beta)}\, x ^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1} \end{align} </math> 其中<math>\Gamma(z)</math>是Γ函数。如果<math>n</math>为正整数，则有：

<math> \Gamma(n) = (n-1)!</math>

随机变量X服从参数为<math>\alpha, \beta</math>的Β分布通常写作

<math>X \sim \textrm{Be}(\alpha, \beta)</math>

累积分布函数

Β分布的累积分布函数是：

<math>F(x;\alpha,\beta) = \frac{\mathrm{B}_x(\alpha,\beta)}{\mathrm{B}(\alpha,\beta)} = I_x(\alpha,\beta) \!</math>

其中<math>\mathrm{B}_x(\alpha,\beta)</math>是不完全Β函数，<math>I_x(\alpha,\beta)</math>是正则不完全贝塔函数。

性质

参数为<math>\alpha, \beta</math>Β分布的众数是：

<math>\begin{align}

\frac{\alpha - 1}{\alpha + \beta - 2} \\

\end{align}</math>

期望和方差分别是：

<math> \mu = \operatorname{E}(X) = \frac{\alpha}{\alpha + \beta} </math>

<math> \operatorname{Var}(X) = \operatorname{E}(X - \mu)^2 = \frac{\alpha \beta}{(\alpha + \beta)^2(\alpha + \beta + 1)}</math>

偏度是：

<math>\frac{\operatorname{E}(X - \mu)^3}{[\operatorname{E}(X - \mu)^2]^{3/2}} = \frac{2 (\beta - \alpha) \sqrt{\alpha + \beta + 1} }

       {(\alpha + \beta + 2) \sqrt{\alpha \beta}}

</math>

峰度是：

<math>\frac{\operatorname{E}(X - \mu)^4}{[\operatorname{E}(X - \mu)^2]^{2}}-3 = \frac{6[\alpha^3-\alpha^2(2\beta - 1) + \beta^2(\beta + 1) - 2\alpha\beta(\beta + 2)]}

{\alpha \beta (\alpha + \beta + 2) (\alpha + \beta + 3)}</math>

或：

<math>\frac{6[(\alpha - \beta)^2 (\alpha +\beta + 1) - \alpha \beta (\alpha + \beta + 2)]}

{\alpha \beta (\alpha + \beta + 2) (\alpha + \beta + 3)}</math>

<math>k</math>阶矩是：

<math>\operatorname{E}(X^k) = \frac{\operatorname{B}(\alpha + k, \beta)}{\operatorname{B}(\alpha,\beta)} = \frac{(\alpha)_{k}}{(\alpha + \beta)_{k}}</math>

其中<math>(x)_{k}</math>表示递进阶乘幂。<math>k</math>阶矩还可以递归地表示为：

<math>\operatorname{E}(X^k) = \frac{\alpha + k - 1}{\alpha + \beta + k - 1}\operatorname{E}(X^{k - 1})</math>

另外，

<math>\operatorname{E}(\log X) = \psi(\alpha) - \psi(\alpha + \beta)</math>

给定两个Β分布随机变量, X ~ Beta(α, β) and Y ~ Beta(α', β'), X的微分熵为：

<math>\begin{align}

 h(X) &= \ln\mathrm{B}(\alpha,\beta)-(\alpha-1)\psi(\alpha)-(\beta-1)\psi(\beta)+(\alpha+\beta-2)\psi(\alpha+\beta)

\end{align}</math> 其中<math>\psi</math>表示双伽玛函数。

联合熵为：

<math>H(X,Y) = \ln\mathrm{B}(\alpha',\beta')-(\alpha'-1)\psi(\alpha)-(\beta'-1)\psi(\beta)+(\alpha'+\beta'-2)\psi(\alpha+\beta).\,</math>

其KL散度为：

<math>

D_{\mathrm{KL}}(X,Y) = \ln\frac{\mathrm{B}(\alpha',\beta')}
                               {\mathrm{B}(\alpha,\beta)} -
                       (\alpha'-\alpha)\psi(\alpha) - (\beta'-\beta)\psi(\beta) +
                       (\alpha'-\alpha+\beta'-\beta)\psi(\alpha+\beta).
</math>

参见

• 概率论
• 概率分布
• Β函数
• Gamma分布

外部链接

• Beta分布 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• LDA-math-认识Beta/Dirichlet分布 （页面存档备份，存于互联网档案馆）