伽玛分布
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概率密度函数 Probability density plots of gamma distributions | |||
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累积分布函数 Cumulative distribution plots of gamma distributions | |||
| 参数 |
<math>k > 0\,</math> 形状参数 (实数) <math>\theta > 0\,</math> 尺度参数 (实数) | ||
|---|---|---|---|
| 值域 | <math>x \in (0; \infty)\!</math> | ||
| 概率密度函数 | <math>x^{k-1} \frac{\exp{\left(-x/\theta\right) | ||
{\Gamma(k)\,\theta^k}\,\!</math>
|cdf =<math>\frac{\gamma(k, x/\theta)}{\Gamma(k)}\,\!</math>
|mean =<math>k \theta\,\!</math>
|median =no simple closed form
|mode =<math>(k-1) \theta\,\!</math> for <math>k \geq 1\,\!</math>
| variance =<math>k \theta^2\,\!</math>
|skewness =<math>\frac{2}{\sqrt{k}}\,\!</math>
|kurtosis =<math>\frac{6}{k}\,\!</math>
|entropy =<math>k + \ln\theta + \ln\Gamma(k) \!</math>
<math>+ (1-k)\psi(k) \!</math>
|mgf =<math>(1 - \theta\,t)^{-k}\,\!</math> for <math>t < 1/\theta\,\!</math>
|char =<math>(1 - \theta\,i\,t)^{-k}\,\!</math>
}}
伽玛分布（英语：Gamma distribution）是统计学的一种连续概率分布。伽玛分布中的参数 <math>\alpha</math>，称为形状参数，<math>\beta</math> 称为尺度参数。
实验定义与观念[编辑]
假设 <math>X_1, X_2, \cdots, X_n</math>为连续发生事件的等候时间，且这 <math>n</math> 次等候时间为独立的，那么这 <math>n</math> 次等候时间之和 <math>Y</math> （<math>Y=X_1+X_2+\cdots+X_n</math>）服从伽玛分布，即 <math>Y</math>~Gamma<math>(\alpha,\beta)</math>，亦可记作Y~Gamma<math>(\alpha,\lambda)</math>，其中 <math>\alpha=n</math>，而 <math>\beta</math> 与 <math>\lambda</math> 互为倒数关系，<math>\lambda</math> 表单位时间内事件的发生率。
指数分布为 <math>\alpha=1</math> 的伽玛分布。
记号[编辑]
有两种表记方法：
<math>X \sim \Gamma(\alpha, \beta)</math>或<math>X \sim \Gamma(\alpha, \lambda)</math>
两者所表达意义相同，只要将以下式子做<math>{\color{Red}\lambda =\frac{1}{\beta}}</math>的替换即可，即，其概率密度函数为：
<math> f \left( x \right) = \frac{x^\left(\alpha-1\right){\color{Red}\lambda}^\alpha e^\left(-{\color{Red}\lambda} x\right)}{\Gamma\left(\alpha \right)} = \frac{x^\left(\alpha-1\right)e^\left(-{\color{Red}\frac{1}{\beta}} x\right)}{{\color{Red}\beta}^\alpha \Gamma\left(\alpha \right)}
</math>，x > 0
其中Gamma函数之特征为：
<math> \begin{cases} \Gamma(\alpha)=(\alpha-1)! & \mbox{if }\alpha\mbox{ is }\mathbb{Z}^+ \\ \Gamma(\alpha)=(\alpha-1)\Gamma(\alpha-1)& \mbox{if }\alpha\mbox{ is }\mathbb{R}^+ \\ \Gamma \left( \frac{1}{2} \right) = \sqrt{\pi} \end{cases} </math>
特性[编辑]
母函数、期望、方差[编辑]
- Gamma分配的矩母函数（m.g.f）
- <math>
M_{x}\left( t \right) = E\left( e^{xt} \right) = \frac{\lambda^\alpha}{\Gamma\left(\alpha\right)} \int_{0}^{\infty} e^{xt}x^{\alpha-1}e^{-\lambda x} dx = \left( \frac{\lambda}{\lambda-t} \right)^{\alpha} = \left( 1-{\beta}{t} \right)^{-\alpha} </math>
- 概率母函数（p.g.f）
- <math>
K_x\left(t\right) = \ln M_x\left( t \right) = \alpha\left[\ln\lambda-\ln\left(\lambda-t\right)\right] </math>
- <math>
\frac { dK_x \left( t \right) } {dt} = \frac {\alpha} {\lambda-t}
,\quad when(t=0),
E\left( X \right) = \frac{\alpha}{\color{Red}\lambda} = \alpha{\color{Red}\beta} </math>
- <math>
\frac { d^2K_x \left( t \right) } {dt^2} = \frac {\alpha} {\left(\lambda-t\right)^2}
,\quad when(t=0),
\sigma^2\left( X \right) = \frac{\alpha}{\color{Red}{\lambda^2}} = \alpha{\color{Red}{\beta^2}} </math>
Gamma的可加性[编辑]
当两随机变量服从Gamma分布，且相互独立，且参数（<math>\lambda</math>或<math>\beta</math>）相同时，Gamma分布具有可加性。
- <math>
\coprod \begin{cases} r.v.X\sim \Gamma \left( {\color{green}\alpha_1},\lambda \right) \\ r.v.Y\sim \Gamma \left( {\color{green}\alpha_2},\lambda \right) \end{cases} \Longrightarrow X+Y\sim \Gamma \left( {\color{green}\alpha_1+\alpha_2},\lambda \right) </math>
