1-形式

File:1-form linear functional.svg

在三维欧几里得空间里，1-形式 α、 β 与它们的和是线性泛函，向量 u、 v与 w也是线性泛函。任意向量穿插过的任意1-形式超平面等于两者的内积。

在线性代数中，1-形式（one-form）是向量空间上的一种线性泛函。1-形式在这种向量空间语境中的使用方式，通常区别于高阶的多重线性泛函中的1-形式。细节参见线性泛函。

在微分几何中，可微流形上的1-形式是余切丛的一个光滑截面。具体说来，流形 M 上的1-形式是M 的切丛的全空间到 R 的一个光滑映射，限制在每个纤维上是切空间上的线性泛函。用符号表示，

<math>\alpha : TM \rightarrow {\mathbf R},\quad \alpha_x = \alpha|_{T_xM}: T_xM\rightarrow {\mathbf R},\,</math>

这里 α_x 是线性的。

1-形式经常局部地描述，特别是在一个局部坐标中。在一个局部坐标系中，1-形式是坐标的微分的线性组合：

<math>\alpha_x = f_1(x)dx^1+f_2(x)dx^2+\dots+f_n(x)dx^n.\,</math>

这里 f_i 是光滑函数。注意这里使用上指标，不要与幂混淆。从这种观点来看，一个 1-形式从一个坐标系变到另一个时有共变变换法则。从而一个 1-形式是秩 1 共变张量场。

特例

设 <math> U \subseteq \mathbb{R} </math> 为一开集（譬如一个区间 <math> (a,b) </math>），考虑可微函数 <math> f: U \to \mathbb{R} </math>，具有导数 f'。f 的微分 df，在一点 <math> x_0\in U </math>，定义为变量 dx 的某个线性映射。具体地，<math>df(x_0, dx): dx \mapsto f'(x_0) dx </math>。（从而符号 dx 的含义揭示出来了：它不过是 df 的一个参数，或独立变量。）故映射 <math>x \mapsto df(x,\cdot) </math> 将每个点 x 送到一个线性泛函 <math>df(x,\cdot)</math>。这是微分（1-）形式最简单的例子。

用德拉姆复形表示，从 0-形式（数量函数）到 1-形式有一个映射，即 <math>f\mapsto df</math>。

一个 1-形式称为闭 1-形式如果它是可微的且它的外导数在任何地方等于 0。

另见

• 2-形式
• 倒晶格
• 张量的中间处理