泛函
泛函（英语：Functional）指以函数构成的向量空间为定义域，以实数或复数域为值域的“函数”，即某一个依赖于其它一个或者几个函数确定其值的量，往往被称为“函数的函数”。在泛函分析中，泛函也用来指一个从任意向量空间到标量域的映射。泛函中的一类特例线性泛函引发了对对偶空间的研究。泛函的应用可以追溯到变分法，其中通常需要寻找一个函数用来最小化某个特定泛函。在物理学上，寻找某个能量泛函的最小系统状态是泛函的一个重要应用。
设<math>S\ </math>是由一些函数构成的集合。所谓<math>S\ </math>上的泛函就是<math>S\ </math>上的一个实值函数。<math>S\ </math>称为该泛函的容许函数集。
函数的变换某种程度上是更一般的概念，参见算子。
例子[编辑]
设在 xOy 平面上有一簇曲线 <math>y(x) </math>, 其长度为<math> L = \int_C ds = \int_{x_0}^{x_1} \sqrt{1 + {y'}^2}dx </math>。
显然，<math>y(x)</math>不同, <math>L</math>也不同，即<math>L</math>的数值依赖于整个函数<math>y(x)</math> 而改变。 <math>L</math> 和函数 <math>y(x)</math> 之间的这种依赖关系就称为泛函关系。
性质[编辑]
对偶性[编辑]
观察映射
- <math> x_0 \mapsto f(x_0)</math>
是一个函数，在这里，<math>x_0</math>是函数f的自变量。
同时，将函数映射至一个点的函数值
- <math> f \mapsto f(x_0)</math>
是一个泛函，在此<math>x_0</math>是一个参数
只要 <math>f</math> 是一个从向量空间至一个布于实数的体的线性转换，上述的线性映射彼此对偶，那么在泛函分析上，这两者都称作线性泛函。
参见[编辑]
参考资料[编辑]
- Rowland, Todd. Functional. MathWorld.
- Lang, Serge, III. Modules, §6. The dual space and dual module, Algebra, Graduate Texts in Mathematics 211 Revised third, New York: Springer-Verlag: 142–146, 2002, ISBN 978-0-387-95385-4, MR1878556