虚数单位

虚数单位<math>i</math>在复平面的位置。横轴是实数，竖轴是虚数

各种各样的数

基本

<math>\mathbb{N}\subseteq\mathbb{Z}\subseteq\mathbb{Q}\subseteq\mathbb{R}\subseteq\mathbb{C}</math> File:NumberSetinC.svg

正数 <math>\mathbb{R}^+</math>
自然数 <math>\mathbb{N}</math>
正整数 <math>\mathbb{Z}^+</math>
小数
 有限小数
 无限小数
 循环小数
 有理数 <math>\mathbb{Q}</math>
代数数 <math>\mathbb{A}</math>
实数 <math>\mathbb{R}</math>
复数 <math>\mathbb{C}</math>
高斯整数 <math>\mathbb{Z}[i]</math>

负数 <math>\mathbb{R}^-</math>
整数 <math>\mathbb{Z}</math>
负整数 <math>\mathbb{Z}^-</math>
分数
 单位分数
 二进分数
 规矩数
 无理数
 超越数
 虚数 <math>\mathbb{I}</math>
二次无理数
 艾森斯坦整数 <math>\mathbb{Z}[\omega]</math>

延伸

二元数
 四元数 <math>\mathbb{H}</math>
八元数 <math>\mathbb{O}</math>
十六元数 <math>\mathbb{S}</math>
超实数 <math>^*\mathbb{R}</math>
大实数
 上超实数

双曲复数
 双复数
 复四元数
共四元数（英语：Dual quaternion）
超复数
 超数
 超现实数

其他

素数 <math>\mathbb{P}</math>
可计算数
 基数
 阿列夫数
 同余
 整数数列
 公称值

规矩数
 可定义数
 序数
 超限数
 $p$ 进数
 数学常数

圆周率 <math>\pi = 3.14159265 </math>…
自然对数的底 <math>e = 2.718281828 </math>…
虚数单位 <math>i = \sqrt{ -{ 1} } </math>
无限大 <math>\infty</math>

在数学、物理及工程学里，虚数单位是指二次方程<math>x^2 + 1 = 0</math>的解。虽然没有这样的实数可以满足这个二次方程，但可以通过虚数单位将实数系统<math>\mathbb{R}</math>延伸至复数系统<math>\mathbb{C}</math>。延伸的主要动机为有很多实系数多项式方程式无实数解。例如刚才提到的方程式<math>x^2 + 1 = 0</math>就无实数解。可是倘若我们允许解答为虚数，那么这方程式以及所有的多项式方程式都有解。虚数单位通常标记为<math>i</math>，但在涉及电气、电机工程等电学相关领域时，则往往标记为<math>j</math>，这是为了避免与电流（记为<math>i(t)</math>或<math>i</math>）相混淆。

定义[编辑]

<math>\ldots</math>
<math>{ {i}^{-{ 3}} } = i </math>
<math>{ {i}^{-{ 2}} } = -1 </math>
<math>{ {i}^{-{ 1}} } = -i </math>
<math>{ {i}^{0} } = 1 </math>
<math>{ {i}^{1} } = i </math>
<math>{ {i}^{2} } = -1 </math>
<math>{ {i}^{3} } = -i </math>
<math>{ {i}^{4} } = 1 </math>
<math>{ {i}^{5} } = i </math>
<math>{ {i}^{6} } = -1 </math>
<math>\ldots</math>

虚数单位<math>i</math>定义为二次方程式<math>x^2 + 1 = 0</math>的两个根中的一个。这方程式又可等价表达为：

<math>{ {x}^{2} } = -1 </math>。

由于实数的平方绝不可能是负数，我们假设有这么一个数目解答，给它设定一个符号<math>i</math>。很重要的一点是，<math> i </math>是一个良定义的数学构造。

另外，虚数单位同样可以表示为：

然而<math>i = \sqrt{ -{ 1} } </math>往往被误认为是错的，他们的证明的方法是：

因为<math>-1 = i\cdot i=\left(\sqrt{-1}\right)\times\left(\sqrt{-1}\right)=\sqrt{\left(-1\right)\times\left(-1\right)}=\sqrt{1}=1</math>，但是-1不等于1。

但请注意：<math>\sqrt{a \cdot b}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}</math>成立的条件有<math>a</math>,<math>b</math>不能为负数。

实数运算可以延伸至虚数与复数。当计算一个表达式时，我们只需要假设<math>i</math>是一个未知数，然后依照<math>i</math>的定义，替代任何<math>i^2</math>的出现为-1。<math>i</math>的更高整数幂数也可以替代为<math>-i</math>，<math>1</math>，或<math>i</math>，根据下述方程式：

<math>i^3 = i^2 i = (-1) i = -i</math>，

<math>i^4 = i^3 i = (-i) i = -(i^2) = -(-1) = 1</math>，

<math>i^5 = i^4 i = (1) i = i</math>。

一般地，有以下的公式：

其中<math>\bmod 4</math>表示被4除的余数。

补充定义[编辑]

虚数单位 <math>i</math> 是复数域 <math>\mathbb{C}</math> 中的一个基本元素，其核心性质由以下等价方式之一定义：

代数定义[编辑]

作为二次方程 <math>x^2 + 1 = 0</math> 的一个解。即，<math>i</math> 是满足方程

的数。由于该方程在实数域 <math>\mathbb{R}</math> 内无解，引入 <math>i</math> 是构造更广的数系——复数域的关键步骤。

作为有序对[编辑]

在复数严格的公理化构造中，复数定义为有序对 <math>(a, b)</math>，其中 <math>a, b \in \mathbb{R}</math>。在此框架下，虚数单位 <math>i</math> 被定义为有序对

<math>i := (0, 1)</math>。

而复数的乘法规则定义为 <math>(a, b) \cdot (c, d) = (ac - bd, ad + bc)</math>。由此可验证：

<math>i^2 = (0, 1) \cdot (0, 1) = (0\cdot0 - 1\cdot1, 0\cdot1 + 1\cdot0) = (-1, 0) = -1</math>。

这一定义完全绕开了“负数的平方根”这一初始概念，从而在逻辑上更为基础。

$i$ 和 $- i$ [编辑]

方程<math>x^2 = -1</math>有两个不同的解，它们都是有效的，且互为共轭虚数及倒数。更加确切地，一旦固定了方程的一个解<math>i</math>，那么<math>-i</math>（不等于<math>i</math>）也是一个解，由于这个方程是<math>i</math>的唯一的定义，因此这个定义表面上有歧义。然而，只要把其中一个解选定，并固定为<math>i</math>，那么实际上是没有歧义的。这是因为，虽然<math>-i</math>和<math>i</math>在数量上不是相等的（它们是一对共轭虚数），但是<math>i</math>和<math>-i</math>之间没有质量上的区别（-1和+1就不是这样的）。在任何的等式中同时将所有i替换为-i，该等式仍成立。

正当的使用[编辑]

虚数单位有时记为<math>\sqrt{-1}</math>。但是，使用这种记法时需要非常谨慎，这是因为有些在实数范围内成立的公式在复数范围内并不成立。例如，公式<math>\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}</math>仅对于非负的实数<math>a</math>和<math>b</math>才成立。

假若这个关系在虚数仍成立，则会出现以下情况：

<math>-1 = i \cdot i = \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} = \sqrt{(-1) \cdot (-1)} = \sqrt{1} = 1</math>（不正确）

<math>-1 = i \cdot i = \pm \sqrt{-1} \cdot \pm \sqrt{-1} = \pm \sqrt{(-1) \cdot (-1)} = \pm \sqrt{1} = \pm 1</math>（不正确）

<math>\frac{1}{i} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{-1}} = \sqrt{\frac{1}{-1}} = \sqrt{-1} = i</math>（不正确）

与算术平方根的关系[编辑]

在复数域中，“平方根”是一个多值函数。对于非负实数 <math>a</math>，符号 <math>\sqrt{a}</math> 通常指其唯一的非负实平方根（称为**算术平方根**或**算术平方根**）。然而，对于负数或一般的复数，符号 <math>\sqrt{z}</math> 必须明确其分支的选择。通常，复数的**算术平方根**函数定义为其辐角落在区间 <math>(-\pi, \pi]</math> 内的那个根。在这种约定下，<math>\sqrt{-1}</math> 的主值是 <math>i</math>（而非 <math>-i</math>）。即便如此，涉及多个复数的算术平方根的恒等式也普遍不成立。因此，在处理复数时，最安全且清晰的做法是直接使用符号 <math>i</math> 及其基本性质 <math>i^2 = -1</math> 进行计算，避免对负数直接应用根号运算法则。

i的运算[编辑]

File:Imaginary2Root.svg

虚数单位<math>i</math>的平方根在复平面的位置

利用复数的运算规则和欧拉公式，可以对虚数单位 <math>i</math> 进行各种数学运算，包括平方根、幂、对数和三角函数。以下运算除特殊说明外，均为与 <math>i</math> 有关的多值函数，在实际应用时必须指明函数的定义选择在黎曼面的哪一支。下面列出的仅仅是最常采用的黎曼面分支的计算结果。

基本运算与幂循环[编辑]

虚数单位 <math>i</math> 的整数幂遵循一个周期为4的循环：

<math>\begin{align}

i^1 &= i, \\ i^2 &= -1, \\ i^3 &= -i, \\ i^4 &= 1, \end{align}</math> 一般地，对任意整数 <math>n</math>，有：

其中 <math>\bmod 4</math> 表示被4除的余数。

平方根[编辑]

<math>i</math> 的平方根为：

<math>\sqrt{i} = \pm \left( \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} i \right) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}(1 + i)</math>

使用算术平方根符号表示其主值：

其解法为先假设两实数 <math>x</math> 及 <math>y</math>，使得 <math>(x + iy)^2 = i</math>，然后求解 <math>x, y</math>。^[1]

一般幂运算[编辑]

利用欧拉公式 <math>e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta</math>，可以将虚数单位表示为指数形式：

<math>i = e^{i\left(\frac{\pi}{2} + 2k\pi\right)}</math>，其中 <math>k \in \mathbb{Z}</math> 为任意整数。

由此可推导出更一般的幂运算公式。设 <math>a, b, c \in \mathbb{R}</math>，且 <math>a > 0</math>，则有：

以 <math>i</math> 为指数的幂（实数的虚数次幂）：

这是一个模为1的复数，其几何意义是在复平面上将点1旋转 <math>\ln a</math> 弧度。

以虚数为指数的幂（实数底数的纯虚数次幂）：

复数的复数次幂（最一般的情况）：

<math>a^{b + c i} = a^{b} \cdot a^{c i} = a^{b} \left[ \cos(c \ln a) + i \sin(c \ln a) \right]</math>

此公式清晰地分离了结果在复平面上的**伸缩因子** <math>a^b</math> 和**旋转因子** <math>a^{c i}</math>。

最为人熟知的特例：<math>i</math> 的 <math>i</math> 次幂

<math>i^i = \left[ e^{i (\frac{\pi}{2} + 2k \pi)} \right]^i = e^{i^2 (\frac{\pi}{2} + 2k \pi)} = e^{-(\frac{\pi}{2} + 2k \pi)}</math>，<math>k \in \mathbb{Z}</math>

代入不同的 <math>k</math> 值，可计算出无限多的解。当 <math>k = 0</math> 时，得到其主值 <math>e^{-\frac{\pi}{2}} \approx</math> 0.207879576...^[2]

对数[编辑]

以 <math>i</math> 为底的对数：

对于正实数 <math>x > 0</math>，有：

<math>\log_i x = {{2 \ln x} \over i\pi} = -i \cdot \frac{2 \ln x}{\pi}</math>（取主值）

更一般地，对于正实数 <math>a > 0</math> 且 <math>a \neq 1</math>，以 <math>i</math> 为底的对数可由换底公式导出：

<math>\log_i a = \frac{\ln a}{\ln i} = \frac{\ln a}{i\left(\frac{\pi}{2} + 2k\pi\right)} = -i \cdot \frac{2 \ln a}{(4k+1)\pi}</math>， <math>k \in \mathbb{Z}</math>。

这是一个纯虚数，且由于 <math>\ln i</math> 的多值性，其结果也有无穷多个值。

三角与双曲函数[编辑]

以下恒等式揭示了虚数单位如何联系三角函数与双曲函数，这是欧拉公式的直接推论。对于实数 <math>x</math>：

<math>\begin{align}

\cos(i x) &= \cosh x \\ \sin(i x) &= i \sinh x \\ \tan(i x) &= i \tanh x \end{align}</math> 这些公式表明，对虚自变量的三角函数求值，会转化为实自变量的双曲函数。

作为直接应用，可以计算：

<math>\cos i = \cosh 1 = {{e + \frac{1}{e}} \over 2} = {{e^2 + 1} \over 2e} \approx 1.54308064...</math>

<math>\sin i = i\sinh 1 = {{e - \frac{1}{e}} \over 2} i = {{e^2 - 1} \over 2e} i \approx (1.17520119...) i</math>

在编程语言

大部分的编程语言都不提供虚数单位，且平方根函数(大多为sqrt()或Math.Sqrt())的引数不可以是负数，因此，必须自行建立类别后方可使用。
但Lisp的许多实现与方言，如Common Lisp，内建虚数和复数的支持。不少动态语言受其影响，也在语言本身或标准库中支持虚数和复数，如Python、Ruby。
一些传统编程语言，如C语言，也从C99开始支持虚数和复数。
在Matlab，虚数单位的表示方法为i或j，但i和j在for循环可以有其他用途。
在Mathematica，虚数单位的表示方法为I、𝕚或𝕛。
在Maple，必须启用虚数功能，并选择用i还是j表示虚数单位。
Go语言于第 1.0 版就内建虚数和复数的支持，变量类型为 complex64和complex128^[3]。

代码示例

以下是一些编程语言中定义虚数单位 <math>i</math> 及进行基本复数运算的方法：

编程语言示例代码 (定义虚数单位与基础运算) 备注与输出示例

Python

# 虚数单位用后缀 j 表示
i = 1j
print(f"虚数单位 i = {i}")
print(f"i 的平方 i² = {i ** 2}")
# 输出：虚数单位 i = 1j
# 输出：i 的平方 i² = (-1+0j)

# 复数构造与运算
z1 = 3 + 4j    # 复数字面量
z2 = complex(1, -2)  # complex(实部, 虚部) 函数
print(f"复数 z1 = {z1}")
print(f"复数 z2 = {z2}")
print(f"z1 + z2 = {z1 + z2}")  # 加法：(4+2j)
print(f"z1 * z2 = {z1 * z2}")  # 乘法：(11-2j)

# 使用 cmath 模块进行更多运算
import cmath
print(f"e^(i*π) = {cmath.exp(1j * cmath.pi)}")  # 欧拉公式，近似 (-1+1.2246467991473532e-16j)

* Python 原生支持复数类型，属于 complex 类。

虚部使用后缀 j 或 J 表示。
可用 real 和 imag 属性获取实部与虚部。
cmath 模块提供复变函数。

C语言 (C99标准)

#include <complex.h>
#include <stdio.h>

int main(void) {
    // 宏 I 表示虚数单位 i
    double complex i = I;
    double complex z1 = 3.0 + 4.0 * I;
    double complex z2 = 1.0 - 2.0 * I;

    // 基本运算
    double complex i_squared = i * i;
    double complex sum = z1 + z2;
    double complex product = z1 * z2;

    // 输出结果，creal()和cimag()分别提取实部和虚部
    printf("i² = %.2f %+.2fi\n", creal(i_squared), cimag(i_squared));
    // 输出：i² = -1.00 +0.00i
    printf("z1 + z2 = %.2f %+.2fi\n", creal(sum), cimag(sum));
    // 输出：z1 + z2 = 4.00 +2.00i
    printf("z1 * z2 = %.2f %+.2fi\n", creal(product), cimag(product));
    // 输出：z1 * z2 = 11.00 -2.00i

    return 0;
}

* 需包含 <complex.h> 头文件，并使用标准宏 I 表示虚数单位。

复数类型为 double complex、float complex 等。
运算符号（+, *, -）与普通算术一致。
使用 creal() 和 cimag() 函数提取复数的实部与虚部。
编译时需支持C99标准（如使用 gcc -std=c99）。

注解

^ University of Toronto Mathematics Network: What is the square root of i? （页面存档备份，存于互联网档案馆） URL retrieved March 26, 2007.
^ "The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers" by David Wells, Page 26.
^ Rob Pike. Constants. The Go Blog. 2014-08-25 [2022-05-27]. （原始内容存档于2022-06-28）.

参见

参考文献

Paul J. Nahin, An Imaginary Tale, The Story of √-1, Princeton University Press, 1998

}}

外部链接[编辑]

[1] University of Toronto Mathematics Network: What is the square root of i? （页面存档备份，存于互联网档案馆） URL retrieved March 26, 2007.

[2] "The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers" by David Wells, Page 26.

[3] Rob Pike. Constants. The Go Blog. 2014-08-25 [2022-05-27]. （原始内容存档于2022-06-28）.

[1]

[2]

[3]

高斯整数导航
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虚数单位

目录

定义[编辑]

补充定义[编辑]

代数定义[编辑]

作为有序对[编辑]

$i$ 和 $- i$ [编辑]

正当的使用[编辑]

与算术平方根的关系[编辑]

i的运算[编辑]

基本运算与幂循环[编辑]

平方根[编辑]

一般幂运算[编辑]

对数[编辑]

三角与双曲函数[编辑]

在编程语言

代码示例

注解

参见

参考文献

外部链接[编辑]

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定义[编辑]

补充定义[编辑]

代数定义[编辑]

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i和-i[编辑]

正当的使用[编辑]

与算术平方根的关系[编辑]

i的运算[编辑]

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平方根[编辑]

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