除子
除子是代数几何中的一个重要概念。在黎曼曲面<math>X</math>上，它可以简单的定义为<math>X</math>上的点的（整系数）形式线性组合，<math> D=\sum_{}^{} n_{p}p</math>。更一般地说，对于代数闭体上的非奇异代数簇，它可以定义为余维度为一的子簇的（整系数）形式线性组合，也可以定义为层<math>K^*_X/O^*_X</math>的一个整体截面。在满足一定条件的（可以是奇异的）代数簇上，这两种定义分别推广成Weil除子和Cartier除子。
黎曼曲面上的除子[编辑]
在黎曼曲面<math>X</math>上，它可以简单的定义为<math>X</math>上的点的（整系数）形式线性组合，<math> D=\sum_{}^{} n_{p}p</math>，其中<math>p</math>是<math>X</math>上的点。型如<math>p</math>的除子被称为素除子。一般的除子都是素除子的线性组合。<math>X</math>上的全部除子构成一个交换群，记作<math>\text{Div}(X)</math>。
对于<math>X</math>上的非零亚纯函数<math>f</math>，我们可以定义<math>f</math>的除子
<math>\text{div}(f)=\sum_{p}^{}v_{p}(f)p</math>，
其中<math>v_{p}(f)</math>是<math>f</math>在<math>p</math>点零点的阶（非零点的阶为零，极点的阶按负值计）。型如<math>\text{div}f</math>的除子叫做主除子。主除子构成的子群记作<math>\text{Prin(X)}</math>。除子类群定义作<math>\text{Cl}(X)=\text{Div}(X)/\text{Prin(X)}</math>。对于紧黎曼面，这是一个有限生成的交换群，它是紧黎曼面<math>X</math>的一个重要不变量。
从层论的观点看，除子是一个局部的概念，对于<math>X</math>上任意的除子<math> D=\sum_{}^{} n_{p}p</math>，和<math>X</math>的开集<math>U</math>，可以定义<math>D</math>在<math>U</math>上的限制<math> D|_{U}=\sum_{p\in U}^{} n_{p}p</math>。函子<math>U\mapsto \text{Div}(U)</math>是<math>X</math>上的层。
给定<math>X</math>上任何一个除子<math>D</math>，局部上<math>D</math>都可以被写作一个函数对应的主除子。精确地说，一定存在<math>X</math>的一组开覆盖{<math>U_i</math>}以及每个<math>U_i</math>上的函数<math>f_i</math>，使得<math>D|_{U_i}=\text{div}(f_i)</math>。一般说来，在<math>U_i</math>和<math>U_j</math>的交集上，<math>f_i</math>和<math>f_j</math>的限制未必相等，但易见在<math>U_{ij}</math>上，存在一个处处非零的全纯函数<math>h</math>，使得<math>f_{i}h=f_j</math>。另外，<math>f_i</math>的选取不是唯一的，因为我们总可以用一个处处非零的全纯函数<math>h</math>来修正它。反过来，任意一组这样的数据<math>\{(U_i, f_i)\}</math>，都给出了<math>X</math>上的一个除子。
以上论证表明，黎曼曲面上的任意一个除子<math>D</math>，都唯一地对应于层<math>K^*_X/O^*_X</math>的一个整体截面。这是Cartier对于除子的观点。
从Cartier的观点出发，不难构造除子<math>D</math>所对应的可逆层<math>\mathcal{O}_X(D)</math>：取<math>X</math>的一组开覆盖{<math>U_i</math>}，以及每个<math>U_i</math>上的函数<math>f_i</math>，使得<math>D|_{U_i}=\text{div}(f_i)</math>。取<math>U_i</math>上的平凡层<math>\mathcal{O}_{U_i}</math>，在交集<math>U_{ij}=U_i\cap U_j</math>上，如前所述<math>\dfrac{f_j}{f_i}</math>是<math>U_{ij}</math>上的一个可逆函数，从而它定义了<math>U_{ij}</math>上平凡层的一个自同构。把这一同构视作粘合映射<math>\mathcal{O}_{U_i}|_{U_{ij}}\cong\mathcal{O}_{U_j}|_{U_{ij}}</math>，不难验证这一族粘合映射满足cocycle条件，从而他们给出了<math>X</math>上的一个可逆层。
反过来，对于黎曼曲面，每个可逆层都来自于一个除子。事实上，若<math>\mathcal{L}</math>是可逆层，令<math>D</math>为任意一个亚纯截面的除子，则<math>\mathcal{L}\cong\mathcal{O}_X(D)</math>。
易见主除子对应的可逆层同构于平凡层。两个除子之和对应的可逆层是原来两个除子对应之可逆层的张量积。若两个除子之差为一主除子，则他们定义的线丛是同构的。
从线丛的观点看，若两个除子之差为一主除子，我们可以把它们视作等价。上面定义的映射<math>[D]\mapsto \mathcal{O}_X(D)</math>给出了它与<math>\text{Pic}(X)</math>的一个同构。这里<math>\text{Pic}(X)</math>是可逆层的同构类在张量积下构成的交换群。
任意一个除子<math>D=\sum_{}^{} n_{p}p</math>，我们可以定义<math>D</math>的次数<math>\text{deg}D=\sum_{}^{} n_{p}</math>。根据定义，这一定是一个有限和。对于紧黎曼面，主除子的次数总为零。由此可见，除子的次数只依赖于它在Picard群中的像。
Weil除子[编辑]
若 X 是一不可约（irreducible），既约（reduced）的局部诺特概形（locally noetherian scheme）。其上一素韦伊除子（prime Weil divisor）是指一个余维数为一的不可约且既约的子概形。X 上的一个韦伊除子是素韦伊除子的有限形式和。
Cartier除子[编辑]
假设 X 为一不可约且既约的诺特概形。则 X 上的非零有理函数的芽关于乘法构成了一个阿贝尔群层，记为 <math> \mathcal{M}_{X}^{\ast} </math>。 它是一个常数层，且包含所有非零正则函数的芽层 <math> \mathcal{O}_{X}^{\ast} </math> 为子层。按定义，X 上的一个卡蒂亚除子（Cartier divisor）为商层 <math> \mathcal{M}_{X}^{\ast}/\mathcal{O}_{X}^{\ast}</math> 的一个整体截面。