概形

概形（英语：scheme）是代数几何学中的一个基本概念。概形是由亚历山大在他1960年的论文《代数几何基础》中提出的，其中一个目的是为了解决代数几何中的一些问题，例如威尔猜想。建立在交换代数的基础之上，概形理论允许使用拓扑学、同调代数中有系统的方法。概形理论也将许多代数几何和数论的问题统一，这也使得怀尔斯得以证明费马最后定理。

定义

给定一个局部赋环空间<math>(X, \mathcal{O}_X)</math>，如果对<math>X</math>的一个开集<math>V</math>，<math>(V, \mathcal{O}_X|_V)</math>是仿射概形，称<math>V</math>为仿射开集。

一个局部赋环空间<math>(X, \mathcal{O}_X)</math>称为概形，如果<math>X</math>的每一点<math>x</math>都有仿射开邻域，即包含<math>x</math>的仿射开集。

直观上说，概形是由仿射概形粘起来得到的，正如流形是由欧几里得空间粘起来得到的。

两个概形之间的态射就是它们作为局部赋环空间的态射。

概形范畴

全体概形构成范畴，其态射取为局部赋环空间之间的态射（另见概形的态射）。给定概形<math>Y</math>，所谓<math>Y</math>之上的概形<math>X</math>（又称<math>Y</math>-概形）即是概形间的态射<math>X \to Y</math>。交换环<math>R</math>上的概形<math>X</math>即是态射<math>X \to \operatorname{Spec}(R)</math>。

域<math>k</math>上的代数簇可定义为<math>k</math>上的满足特定条件的概形，但对于具体何种概形可称为簇，有不同约定，其中一种定义为<math>k</math>之上有限型的整、分离概形。

态射<math>f: X \to Y</math>确定了正则函数环上的拉回同态<math>f^* : \mathcal O(Y) \to \mathcal O(X)</math>。对于仿射概形，此构造给出概形态射<math>\operatorname{Spec}(A) \to \operatorname{Spec}(B)</math>与环同态<math>B \to A</math>之间的一一对应。此意义下，概形论包含了交换环论的全部内容。

由于<math>\mathbb Z</math>是交换环范畴的始对象，概形范畴对应以<math>\operatorname{Spec}(\mathbb Z)</math>为终对象。对于交换环<math>R</math>上的概形<math>X</math>，所谓<math>X</math>的<math>R</math>值点即是态射<math>X \to \operatorname{Spec}(R)</math>的截面，全体<math>R</math>值点的集合记作<math>X(R)</math>，其对应的古典概念是定义<math>X</math>的方程组在<math>R</math>中的解集。若<math>R</math>实为域<math>k</math>，则<math>X(k)</math>亦称为<math>X</math>的<math>k</math>-有理点集。

推而广之，设有交换环<math>R</math>，其上有概形<math>X</math>和交换代数<math>S</math>，则<math>X</math>的<math>S</math>值点定义为<math>R</math>之上的态射<math>\operatorname{Spec}(S)\to X</math>（该态射需要与射向<math>\operatorname{Spec}(R)</math>的态射组成交换图表），<math>S</math>值点的集合记作<math>X(S)</math>。（类比到方程组的情况，相当于将某个域<math>k</math>扩张成<math>E</math>，再考虑<math>E</math>中的解集。）固定<math>R</math>及其上的概形<math>X</math>时，映射<math>S \mapsto X(S)</math>为自交换<math>R</math>代数范畴至集合范畴的函子。<math>R</math>上的概形<math>X</math>可从此点函子确定。

概形的纤维积总存在：对任意两态射<math>X \to Y, Z \to Y</math>，皆可在概形范畴内找到纤维积<math>X \times_Y Z</math>（即范畴学拉回）。若<math>X, Z</math>为域<math>k</math>上的概形，则两者在<math>\operatorname{Spec}(k)</math>上的纤维积可以视为<math>k</math>-概形范畴中的积，例如仿射空间<math>\mathbb A^m</math>与<math>\mathbb A^n</math>在<math>k</math>上之积正是<math>\mathbb A^{m+n}</math>。

由于概形范畴既有纤维积，又有终对象<math>\operatorname{Spec}(\mathbb Z)</math>，其有齐全部有限极限。

历史

概形的概念是由亚历山大·格罗滕迪克在20世纪50年代引入的。一开始称为“预概形”（法语：préschéma，英语：prescheme），1967年左右改称现名。

概形的中文名称源自日文“概型”。

例

• 仿射概形的开子集不一定仿射，因此需要考虑（非仿射的）一般概形。例如，设<math>X = \mathbb A^n \setminus \{ 0\}</math>（基域取复域<math>\mathbb C</math>为例），则当<math>n \ge 2</math>时，<math>X</math>不为仿射。（但对于<math> n = 1</math>的情况，仿射直线挖去原点，同构于仿射概形<math>\operatorname{Spec} \mathbb C[x, x^{-1}]</math>。）欲证<math>X</math>非仿射，可以证出当<math> n \ge 2</math>时，<math>X</math>上的每个正则映射，皆可延拓至<math>\mathbb A^n</math>上。（对正则映射较易证明；对解析函数，则是复分析的哈托格斯延拓定理）。换言之，嵌入<math>f: X \to \mathbb A^n</math>导出自<math>\mathcal O(\mathbb A^n) = \mathbb C [x_1, \ldots, x_n]</math>至<math>\mathcal O(X)</math>的环同构。假若<math>X</math>仿射，将由此得出<math>f</math>本身亦为同构，但<math>f</math>不为满射，矛盾。因此，概形<math>X</math>不为仿射。
• 设<math>k</math>为域，则可数积<math display="inline">\prod_{n=1}^\infty k</math>的谱<math display="inline">\operatorname{Spec}\left(\prod_{n=1}^\infty k\right)</math>为仿射概形，底下的拓扑空间为正整数集（离散）的斯通-切赫紧化，因为质理想与正整数集上的超滤子一一对应：超滤子<math>\mathcal F</math>对应质理想

<math>\quad I = \{x \in \prod_{n=1}^\infty k : \{n \in \mathbb Z^+ : x_n = 0\} \in \mathcal F\},</math>

特别地，正整数<math>n</math>对应的主超滤子，对应的质理想是<math>\{x: x_n = 0\}</math>。本例仿射概形为零维空间，故而每点自成一个既约分支。由于仿射概形皆拟紧，本例是拟紧但具有无穷多个既约分支的概形。（诺特概形则与之相对，只有有限多个既约分支。）

参考文献

• Arapura, Donu. Frobenius amplitude, ultraproducts, and vanishing on singular spaces. Illinois Journal of Mathematics. 2011, 55 (4): 1367–1384. MR 3082873. doi:10.1215/ijm/1373636688 可免费查阅. 
• Eisenbud, David; Harris, Joe. The Geometry of Schemes. Springer-Verlag. 1998. ISBN 978-0-387-98637-1. MR 1730819. 
• Hartshorne, Robin. Algebraic Geometry. Springer-Verlag. 1997 [1977]. ISBN 978-0-387-90244-9. MR 0463157. 

参见

• 《代数几何基础》