模层

数学中，赋环空间<math>(X,\ O)</math>上O-模的层或O-模是层F，使得对开的<math>U\subseteq X</math>，<math>F(U)</math>是<math>O(U)</math>-模，<math>F(U)\to F(V)</math>的限制映射与<math>O(U)\to O(V)</math>的限制映射相容：<math>\forall f\in O(U),\ s\in F(U)</math>，fs的限制是f的限制乘以s的限制。

标准情况是当X是概形，O是其结构层。若O是常层<math>\underline{\mathbf{Z}}</math>，则O-模的层等同于阿贝尔群层（即阿贝尔层）。

若X是环R的主谱，则R-模会自然地确定一个<math>O_X</math>-模，称作相关层。相似地，若R是分次环，X是R的射影构造，则分次模会自然地确定一个<math>O_X</math>-模。这样产生的<math>O_X</math>-模是准凝聚层的例子，事实上在仿射与射影概形上，所有准凝聚层都可这样生成。

赋环空间上的模层形成阿贝尔范畴。而且这范畴有足内射（enough injective），因此定义了层上同调<math>\operatorname{H}^i(X, -)</math>，为全局截面函子<math>\Gamma(X, -)</math>的第i右导出函子。

例子

• 给定赋环空间<math>(X,\ O)</math>，若F是O的O-子模，则称之为O的理想层，因为对开的<math>U\subseteq X</math>，<math>F(U)</math>是环<math>O(U)</math>的理想。
• 设X为n维光滑簇，则X的切层是余切层<math>\Omega_X</math>的对偶，规范层<math>\omega_X</math>是<math>\Omega_X</math>的n次外幂。
• 代数层是模层，也是环层。

运算

设<math>(X,\ O)</math>为赋环空间。若F和G都是O-模，则它们的张量积

<math>F \otimes_O G</math> or <math>F \otimes G</math>,

也是O-模，与预层<math>U \mapsto F(U) \otimes_{O(U)} G(U)</math>相关联（计算<math>O(1) \otimes O(-1) = O</math>的全局截面，其中<math>O(1)</math>是射影空间上的塞尔扭曲层，如此可知层化是不可避免的）。

同样，若F、G都是O-模，则

<math>\mathcal{H}om_O(F, G)</math>

表示作为层<math>U \mapsto \operatorname{Hom}_{O|_U}(F|_U, G|_U)</math>的O-模。特别地，O-模

<math>\mathcal{H}om_O(F, O)</math>

称作F的对偶模，记作<math>\check F</math>。注意：对任意O-模E、F，都有规范同态

<math>\check{E} \otimes F \to \mathcal{H}om_O(E, F)</math>,

若E是秩有限的局部自由层，则就是同构。特别地，若L局部自由且秩为1（称这样的L是可逆层或线丛 ），则有

<math>\check{L} \otimes L \simeq O,</math>

这意味着可逆层的同构类构成群，称作X的皮卡第群，规范等同于第一上同调群<math>\operatorname{H}^1(X, \mathcal{O}^*)</math>（由标准的切赫上同调论证）。

若E是秩有限的局部自由层，则有配对给出的O-线性映射<math>\check{E} \otimes E \simeq \operatorname{End}_O(E) \to O</math>，称作E的迹映射。

对任意O-模F，其张量代数、外代数和对称代数的定义方式类似。例如，k次外幂

<math>\bigwedge^k F</math>

是与预层<math display="inline">U \mapsto \bigwedge^k_{O(U)} F(U)</math>相关联的层。若F是秩为n的局部自由层，则<math display="inline">\bigwedge^n F</math>称作F的行列式（determinant）线丛（严格说是可逆层），记作<math>{\rm det}(F)</math>。有自然的完美配对：

<math>\bigwedge^r F \otimes \bigwedge^{n-r} F \to \det(F).</math>

设<math>f(X,\ O)\to(X',\ O')</math>是赋环空间之间的态射。若F是O-模，则直像层<math>f_* F</math>通过自然映射<math>O'\to f_* O</math>是O'-模（这样的自然映射是赋环空间态射数据的一部分）。

若G是O'-模，则G的模逆像<math>f^* G</math>是作为模的张量积的O-模：

<math>f^{-1} G \otimes_{f^{-1} O'} O</math>

其中<math>f^{-1} G</math>是G的逆像层，<math>f^{-1} O' \to O</math>由伴随从<math>O' \to f_* O</math>得到。

<math>f_*</math>和<math>f^*</math>之间有伴随关系：对任意O-模F、O'-模G，

<math>\operatorname{Hom}_{O}(f^* G, F) \simeq \operatorname{Hom}_{O'}(G, f_*F)</math>

是阿贝尔群。还有射影公式：对O-模F、秩有限的局部自由O'-模E，

<math>f_*(F \otimes f^*E) \simeq f_* F \otimes E.</math>

性质

令<math>(X,\ O)</math>是赋环空间。O-模F，若有O-模的满射：

<math>\bigoplus_{i \in I} O \to F \to 0.</math>

则称F是由全局截面生成的。明确地说，这意味着存在F的全局截面<math>s_i</math>使得<math>s_i</math>在每个茎<math>F_x</math>中的像生成了作为<math>O_X</math>-模的<math>F_x</math>。

代数几何中，R-模M（R是任意交换环）与环的谱<math>{\rm Spec}(R)</math>相关联，就是这种层的一个例子。

另一个例子：据嘉当定理A，施坦流形上的凝聚层都是由全局截面张成的（参下列塞尔定理A）。在概形论中，一个相关概念是充足线丛（ample line buldle，例如若L是充足线丛，那么它的某个幂是由全局截面生成的）。

内射O-模是弛的（flasque，即所有限制映射<math>F(U)\to F(V)</math>都是满射）。由于弛层在阿贝尔层范畴中是非周期性的，所以O-模范畴中的全局截面函子<math>\Gamma(X, -)</math>的第i右导出函子与通常的阿贝尔层范畴中的第i层上同调相重合。

与模相关联的层

令M是环A上的模。置<math>X=\operatorname{Spec}(A)</math> and write <math>D(f) = \{ f \ne 0 \} = \operatorname{Spec}(A[f^{-1}])</math>。对每对<math>D(f) \subseteq D(g)</math>，根据局部化的泛性质，有自然映射

<math>\rho_{g, f}: M[g^{-1}] \to M[f^{-1}]</math>

有性质<math>\rho_{g, f} = \rho_{g, h} \circ \rho_{h, f}</math>。则

<math>D(f) \mapsto M[f^{-1}]</math>

是对象为集合<math>D(f)</math>、态射为集合包含的范畴，到阿贝尔群范畴的反变函子。可以证明它实际上是B-层（即其满足胶合公理），于是定义了X上的层<math>\widetilde{M}</math>，称作与M相关联的层。

最基本的例子是X上的结构层，即<math>\mathcal{O}_X = \widetilde{A}</math>。此外，<math>\widetilde{M}</math>具有<math>\mathcal{O}_X = \widetilde{A}</math>-模的结构，因此可得到A上模范畴<math>{\rm Mod}A</math>到<math>\mathcal{O}_X</math>上模范畴的正合函子<math>M \mapsto \widetilde{M}</math>。其定义了<math>{\rm Mod}A</math>到X上准凝聚层范畴的等价，其逆<math>\Gamma(X, -)</math>是全局截面函子。X是诺特概形时，函子是从有限生成A-模到X上凝聚层范畴的等价。

此构造有以下性质：对任意A-模M、N与任意态射<math>\varphi:M\to N</math>，

• <math>M[f^{-1}]^{\sim} = \widetilde{M}|_{D(f)}</math>.
• 对A的任意素理想，<math>\widetilde{M}_p \simeq M_p</math>作为<math>O_p=A_p</math>-模。
• <math>(M \otimes_A N)^{\sim} \simeq \widetilde{M} \otimes_{\widetilde{A}} \widetilde{N}</math>.
• 若M是有限表示模，<math>\operatorname{Hom}_A(M, N)^{\sim} \simeq \mathcal{H}om_{\widetilde{A}}(\widetilde{M}, \widetilde{N})</math>.
• 由于<math>{\rm Mod}_A</math>与X上准凝聚层范畴间的等价关系，<math>\operatorname{Hom}_A(M, N) \simeq \Gamma(X, \mathcal{H}om_{\widetilde{A}}(\widetilde{M}, \widetilde{N}))</math>。
• <math>(\varinjlim M_i)^{\sim} \simeq \varinjlim \widetilde{M_i}</math>;特别是，取直和与~交换。
• 当且仅当<math>\sim</math>的诱导序列正合，称A-模序列正合。特别地，<math>(\ker(\varphi))^{\sim}=\ker(\widetilde{\varphi}), (\operatorname{coker}(\varphi))^{\sim}=\operatorname{coker}(\widetilde{\varphi}), (\operatorname{im}(\varphi))^{\sim}=\operatorname{im}(\widetilde{\varphi})</math>.

与分次模相关联的层

上一节中的构造与等价有一个分次类似物。令R是由<math>R_0</math>-代数（<math>R_0</math>表示度为0的元素）的度为1的元素生成的分次环，M是分次R-模。令X是R的射影构造（于是若R不是诺特环，则X是射影概形），则有O-模<math>\widetilde{M}</math>，使得对R的度数为正的任意齐次元f，有自然同构

<math>\widetilde{M}|_{\{f \ne 0\}} \simeq (M[f^{-1}]_0)^{\sim}</math>

作为仿射概形<math>\{f \ne 0\} = \operatorname{Spec}(R[f^{-1}]_0)</math>上的模层；实际上，这通过胶合定义了<math>\widetilde{M}</math>。

例子：令<math>R(1)</math>为分次R-模：<math>R(1)_n=R_{n+1}</math>，则<math>O(1) = \widetilde{R(1)}</math>称作塞尔扭曲层，若R次数为1、是有限生成的，则塞尔扭曲层是重言线丛的对偶。

若F是X上的O-模，则<math>F(n) = F \otimes O(n)</math>就有规范同态：

<math>\left(\bigoplus_{n \ge 0} \Gamma(X, F(n))\right)^{\sim} \to F,</math>

当且仅当F是准凝聚层时，它是同构。

计算层上同调

主条目：层上同调

层上同调以难以计算而闻名。正因如此，下面的一般事实对任何实际计算都是重要的：

塞尔消失定理指出，若X是射影簇、F是其上的凝聚层，则对足够大的n，塞尔扭曲<math>F(n)</math>由有限多全局截面生成。此外，

• <math>\forall i,\ H^i(X,\ F)</math>是在<math>R_0</math>上有限生成的；
• 有取决于F的整数<math>n_0</math>使得

<math display="block">\operatorname{H}^i(X, F(n)) = 0, \, i \ge 1, n \ge n_0.</math>

层扩张

令<math>(X,\ O)</math>是赋环空间，F、H是X上O-模的层。H对F的扩张是O-模的短正合列

<math>0 \rightarrow F \rightarrow G \rightarrow H \rightarrow 0.</math>

与群扩张一样，若固定F、H，则H对F扩张的所有等价类构成阿贝尔群（参Baer和），其与Ext群<math>\operatorname{Ext}_O^1(H,F)</math>同构，当中<math>\operatorname{Ext}_O^1(H,F)</math>中的幺元对应平凡扩张。

H是O的情形下，有：<math>\forall i\ge 0,</math>

<math>\operatorname{H}^i(X, F) = \operatorname{Ext}_O^i(O,F),</math>

因为两侧是同一个函子<math>\Gamma(X, -) = \operatorname{Hom}_O(O, -)</math>的右导出函子。

注: Hartshorne等学者不写下标O。

设X是诺特环上的射影概形。令F、G是X上的凝聚层，i是整数，则存在<math>n_0</math>使得

<math>\operatorname{Ext}_O^i(F, G(n)) = \Gamma(X, \mathcal{E}xt_O^i(F, G(n))), \, n \ge n_0</math>.

局部自由消解

<math>\mathcal{Ext}(\mathcal{F},\mathcal{G})</math>对任何凝聚层<math>\mathcal{F}</math>都可用局部自由消解轻松计算：给定复形

<math>

\cdots \to \mathcal{L}_2 \to \mathcal{L}_1 \to \mathcal{L}_0 \to \mathcal{F} \to 0 </math> 则

<math>

\mathcal{RHom}(\mathcal{F},\mathcal{G}) = \mathcal{Hom}(\mathcal{L}_\bullet,\mathcal{G}) </math> 于是

<math>\mathcal{Ext}^k(\mathcal{F},\mathcal{G}) = h^k(\mathcal{Hom}(\mathcal{L}_\bullet,\mathcal{G}))</math>

例子

超曲面

考虑度数为d的光滑超曲面X，则可计算消解

<math>\mathcal{O}(-d) \to \mathcal{O}</math>

并发现

<math>\mathcal{Ext}^i(\mathcal{O}_X,\mathcal{F}) = h^i(\mathcal{Hom}(\mathcal{O}(-d) \to \mathcal{O}, \mathcal{F}))</math>

光滑完全交的并

考虑概形

<math>X = \text{Proj}\left( \frac{\mathbb{C}[x_0,\ldots,x_n]}{(f)(g_1,g_2,g_3)} \right) \subseteq \mathbb{P}^n</math>

其中<math>(f,g_1,g_2,g_3)</math>是光滑完全交，<math>\deg(f) = d,\ \deg(g_i) = e_i</math>。则有复形

<math>

\mathcal{O}(-d-e_1-e_2-e_3) \xrightarrow{\begin{bmatrix} g_3 \\ -g_2 \\ -g_1 \end{bmatrix}} \begin{matrix} \mathcal{O}(-d-e_1-e_2) \\ \oplus \\ \mathcal{O}(-d-e_1-e_3) \\ \oplus \\ \mathcal{O}(-d-e_2-e_3) \end{matrix} \xrightarrow{\begin{bmatrix} g_2 & g_3 & 0 \\ -g_1 & 0 & -g_3 \\ 0 & -g_1 & g_2 \end{bmatrix}} \begin{matrix} \mathcal{O}(-d-e_1) \\ \oplus \\ \mathcal{O}(-d-e_2) \\ \oplus \\ \mathcal{O}(-d-e_3) \end{matrix} \xrightarrow{\begin{bmatrix} fg_1 & fg_2 & fg_3 \end{bmatrix}} \mathcal{O} </math> 消解了<math>\mathcal{O}_X</math>，可用于计算<math>\mathcal{Ext}^i(\mathcal{O}_X,\mathcal{F})</math>。

另见

• D-模
• 分式理想
• 全纯向量丛

参考文献

• Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean. Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas. Publications Mathématiques de l'IHÉS. 1960, 4 [2024-04-13]. MR 0217083. doi:10.1007/bf02684778. （原始内容存档于2021-07-19）. 
• Hartshorne, Robin, Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics 52, New York: Springer-Verlag, 1977, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157 
• Costa, Laura; Miró-Roig, Rosa María; Pons-Llopis, Joan. Ulrich Bundles. 2021 [2024-09-17]. ISBN 9783110647686. doi:10.1515/9783110647686. （原始内容存档于2023-10-01）. 
• Links with sheaf cohomology. Local Cohomology. 2012: 438–479. ISBN 9780521513630. doi:10.1017/CBO9781139044059.023. 
• Serre, Jean-Pierre, Faisceaux algébriques cohérents (§.66 Faisceaux algébriques cohérents sur les variétés projectives.) (PDF), Annals of Mathematics, 1955, 61 (2): 197–278 [2024-04-13], JSTOR 1969915, MR 0068874, doi:10.2307/1969915, （原始内容存档 (PDF)于2024-06-04）