期望

在概率论和统计学中，一个离散性随机变量的期望（或数学期望，亦简称期望，物理学中称为期待值）是试验中每次可能的结果乘以其结果概率的总和。换句话说，期望像是随机试验在同样的机会下重复多次，所有那些可能状态平均的结果，便基本上等同“期望”所期望的数。期望可能与每一个结果都不相等。换句话说，期望是该变量输出值的加权平均。期望并不一定包含于其分布值域，也并不一定等于值域平均值。

例如，掷一枚公平的六面骰子，其每次“点数”的期望是3.5，计算如下：

<math>

\begin{align} \operatorname{E}(X) & = 1 \cdot \frac{1}{6} + 2 \cdot \frac{1}{6} + 3 \cdot \frac{1}{6} + 4 \cdot \frac{1}{6} + 5 \cdot \frac{1}{6} + 6 \cdot \frac{1}{6} \\ [6pt] & = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{6} = 3.5 \end{align} </math>

不过如上所说明的，3.5虽是“点数”的期望，但却不属于可能结果中的任一个，没有可能掷出此点数。

数学定义

如果<math>X</math>是在概率空间<math>(\Omega, F, P)</math>中的随机变量，那么它的期望<math>\operatorname{E}(X)</math>的定义是：

<math>\operatorname{E}(X) = \int_\Omega X\,\mathrm{d}P</math>

并不是每一个随机变量都有期望的，因为有的时候上述积分不存在。

如果两个随机变量的分布相同，则它们的期望也相同。

如果<math>X</math>是离散的随机变量，输出值为<math>x_1, x_2, \ldots</math>，和输出值相应的概率为<math>p_1, p_2, \ldots</math>（概率和为1）。

若级数<math>\sum_i p_i x_i</math>绝对收敛，那么期望<math>\operatorname{E}(X)</math>是一个无限数列的和。

<math>\operatorname{E}(X) = \sum_i p_i x_i</math>

如果<math>X</math>是连续的随机变量，存在一个相应的概率密度函数<math>f(x)</math>，若积分<math>\int_{-\infty}^\infty x f(x)\,\mathrm{d}x</math>绝对收敛，那么<math>X</math>的期望可以计算为：

<math>\operatorname{E}(X) = \int_{-\infty}^\infty x f(x)\,\mathrm{d}x</math>。

是针对于连续的随机变量的，与离散随机变量的期望的算法同出一辙，由于输出值是连续的，所以把求和改成了积分。

性质

• 期望<math>E</math>是线性函数。

  <math>\operatorname{E}(aX+bY) = a\operatorname{E}(X) + b\operatorname{E}(Y)</math>

  <math>X</math>和<math>Y</math>为在同一概率空间的两个随机变量（可以独立或者非独立），<math>a</math>和<math>b</math>为任意实数。

• 一般的说，一个随机变量的函数的期望并不等于这个随机变量的期望的函数。

  <math>\operatorname{E}(g(X)) = \int_{\Omega} g(x) f(x)\,\mathrm{d}x \neq g(\operatorname{E}(X))</math>

• 在一般情况下，两个随机变量的积的期望不等于这两个随机变量的期望的积。

  当<math>\operatorname{E}(XY) = \operatorname{E}(X) \operatorname{E}(Y)</math>成立时，随机变量<math>X</math>和<math>Y</math>的协方差为0，又称它们不相关。特别的，当两个随机变量独立时，它们协方差（若存在）为0。

期望的运用

在统计学中，估算变量的期望时，经常用到的方法是重复测量此变量的值，再用所得数据的平均值来估计此变量的期望。

在概率分布中，期望和方差或标准差是一种分布的重要特征。

在古典力学中，物体重心的算法与期望的算法十分近似。

在赌博中，期望又称预期值、长期效果值、合理价值、期待值，都能完全贴和，而其计算的方式为：

<math>\mathrm{EV}</math>（期望）<math>=</math>胜的概率<math>\times</math>获胜的筹码<math>-</math>输的概率<math>\times</math>输掉的筹码

期望也可以通过方差计算公式来计算方差：

<math>\operatorname{Var}(X)= \operatorname{E}(X^2) - \operatorname{E}(X)^2</math>

（平方的期望减期望的平方）

其他写法

在机器学习领域的文章中，常常在期望算子的下标中指定<math>x</math>服从的分布。例如：随机变量<math>x</math>的函数<math>g(x)</math>的期望常常写成这样：

<math>\mathbb{E}_{x \sim p(x)} [g(x)] = \int_{-\infty}^\infty p(x)g(x) \,\mathrm{d}x</math>

<math>p(x)</math>是<math>x</math>的概率密度函数。