求和符号

求和符号（英语：summation；符号：<math display="inline">\sum</math>，读作：sigma），是欧拉于1755年首先使用的一个数学符号。这个符号是源自于希腊文“σουμαρω（增加，Soumaro）”的字头，“Σ”正是“σ”的大写。

求和指的是将给定的数值相加的过程，又称为加总。求和符号常用来简化有多个数值相加的数学表达式。

假设有<math>n</math>个数值<math>x_1, x_2, \cdots, x_n</math>，则这<math>n</math>个数值的总和<math>x_1 + x_2 + \cdots + x_n</math>可表示为<math>\sum^{n}_{k=1} x_k</math>。

用等式来呈现的话就是<math>\sum^{n}_{k=1} x_k=x_1 + x_2 + \cdots + x_n</math>。

举例来说，若有4个数值：<math>x_1=1, x_2=3,x_3=5,x_4=7</math>，则这4个数值的总和为：

<math>\sum^{4}_{k=1} x_k=x_1 + x_2 + x_3 + x_4=1+3+5+7=16</math>

在数学中，求和是任何类型数字的序列相加，称为加数或加数；结果是它们的总和或总数。除了数字之外，也可以对其他类型的值求和：函数、向量、矩阵、多项式，以及通常在其上定义了表示为“+”的运算的任何类型的数学对象的元素。

无穷序列的总和称为级数，它们涉及极限的概念，本条目不予考虑。

显式序列的总和表示为一连串的加法。例如，[1, 2, 4, 2] 的和记为 1 + 2 + 4 + 2，得到 9，即 1 + 2 + 4 + 2 = 9。因为加法是结合可交换的，所以有不需要括号，无论加法的顺序如何，结果都是一样的。只有一个元素的序列的总和会产生这个元素本身。按照惯例，空序列（没有元素的序列）的总和结果为 0。

求和方法

1. 裂项法：利用<math>a_k=b_{k+1}-b_k</math>求出<math>\sum_{k=m}^n a_k</math>。
2. 错位相减法：透过两个求和式的相减化简求和数列的求和方法。
3. 倒序求和：对于有对称中心的函数<math>f(x)+f(2a-x)=2b</math>首尾求和
4. 逐项求导：可从<math>\displaystyle \sum_{k=0}^n x^k=\frac{x^{n+1}-1}{x-1}</math>推导出<math>\displaystyle \sum_{k=0}^n k^m x^k</math>
5. 阿贝尔变换：

<math>\sum_{i=1}^n a_i b_i=a_1(b_1-b_2)+(a_1+a_2)(b_2-b_3)+\dots+(a_1+a_2+\dots+a_{n-1})(b_{n-1}-b_n)+(a_1+a_2+\dots+a_n)b_n</math>

含多项式求和公式

以下设p为多项式，<math>\deg p(k)=m,\Delta p(k)=p(k+1)-p(k)</math>

<math>\sum p(k)</math>

<math>\sum p(k)</math>是对一个多项式求和，自然数方幂和、等幂求和、等差数列求和都属于对多项式求和。

• 帕斯卡矩阵形式

  <math>\sum_{k=1}^n p(k)=

\begin{pmatrix}C_n^1 & C_n^2 & \cdots & C_n^{m+1}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} C_0^0 & 0 & \cdots & 0\\ -C_1^0 & C_1^1 & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ (-1)^mC_m^0 & (-1)^{m-1}C_m^1 & \cdots & C_m^m\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix}p(1)\\p(2)\\\vdots\\p(m+1)\end{pmatrix} </math>

• 差分变换形式

  <math>p(k)=\sum_{j=1}^{m+1} C_{k-1}^{j-1}\Delta^{j-1} p(1)</math>

  <math>\sum_{k=1}^n p(k)=\sum_{j=1}^{m+1} C_{n}^{j}\Delta^{j-1}p(1)</math>

<math>\sum u_k v_k x^k</math>

当<math>u_k=p(k)</math>为多项式，<math>\sum_{l=0}^\infty v_l x^l</math>易求高阶导数时，<math>\sum_{k=0}^\infty u_k v_k x^k</math>有封闭型和式

<math>\sum_{k=0}^\infty u_k v_k x^k=\sum_{k=0}^\infty \frac{\Delta^k u_0 x^k}{k!}\frac{d^k}{dx^k}(\sum_{l=0}^\infty v_l x^l)</math>

<math>\sum p(k)q^k</math>

• <math>u_k=p(k),v_k=1,x=q,\sum u_k v_k x^k=\sum p(k)q^k</math>

  有限和<math>\displaystyle\sum_{k=1}^n p(k)q^{k-1}</math>有封闭型和式

  当p为常数时，是对等比数列求和，当p为一次多项式时，是对差比数列求和。

  <math>\displaystyle\sum_{k=1}^n p(k)q^{k-1}=f(n)q^n-f(0)</math>

  <math>f(n)=\frac{p(n)}{q-1}+\frac{1}{(q-1)^2}\sum_{k=1}^m \frac{(-1)^kq^{k-1}}{(q-1)^{k-1}}\Delta^k(p(n))=\frac{1}{q-1}\sum_{k=0}^m (\frac{-q}{q-1})^k\Delta^k p(n+1)</math>

<math>\sum p(k)q^k</math>的例子

• x

<math>\sum \frac{p(k)}{k!}x^k</math>

• <math>u_k=p(k),v_k=\frac{1}{k!},\sum u_k v_k x^k=\sum \frac{p(k)}{k!}x^k</math>

  <math>\sum_{n=0}^{\infty} \frac{p(n)}{n!}x^n=e^x\sum_{k=0}^m \frac{\Delta^k p(0)}{k!}x^k</math>

<math>\sum H_k p(k)</math>

<math>\sum_{k=1}^n H_k p(k)=(\sum_{j=0}^m C_{n+1}^{j+1} \Delta^j p(0))H_n-\sum_{j=0}^m\frac{C_n^{j+1}}{j+1}\Delta^j p(0)</math>，其中<math>H_n</math>为调和数或调和级数

组合数求和公式

主条目：二项式系数

一阶求和公式

• <math> \sum_{r=0}^n \binom nr = 2^{n} </math> (巴斯卡三角形每一行的数字总和)
• <math> \sum_{r=0}^{n-k} \frac {(-1)^r (n+1)}{k+r+1} \binom {n-k}r = \binom nk^{-1} </math>
• <math> \sum_{r=0}^n \binom {dn}{dr}=\frac{1}{d}\sum_{r=1}^d (1+e^{\frac{2 \pi r i}{d}})^{dn}</math>
• <math> F_n=\sum_{i=0}^{\infty} \binom {n-i}{i}</math>

<math> F_{n-1}+F_n=\sum_{i=0}^{\infty} \binom {n-1-i}{i}+\sum_{i=0}^{\infty} \binom {n-i}{i}=1+\sum_{i=1}^{\infty} \binom {n-i}{i-1}+\sum_{i=1}^{\infty} \binom {n-i}{i}=1+\sum_{i=1}^{\infty} \binom {n+1-i}{i}=\sum_{i=0}^{\infty} \binom {n+1-i}{i}=F_{n+1}</math>

主条目：朱世杰恒等式

• <math> \sum_{i=m}^n \binom ia = \binom {n+1}{a+1} - \binom {m}{a+1} </math>

<math> \binom {m}{a+1} + \binom ma + \binom {m+1}a ... + \binom na = \binom {n+1}{a+1} </math>

<math> \sum_{i=m}^n \binom {k_1+i}{k_2} = \binom {k_1+n+1}{k_2+1} - \binom {k_1+m}{k_2+1} </math>

<math> \sum_{i=m}^n \binom {k_1+i}{k_2+i} = \binom {k_1+n+1}{k_2+n} - \binom {k_1+m}{k_2+m-1} </math>

二阶求和公式

• <math> \sum_{r=0}^n {\binom nr}^2 = \binom {2n}n </math>
• <math>\sum_{i=0}^n \binom {r_1+n-1-i}{r_1-1} \binom {r_2+i-1}{r_2-1}=\binom {r_1+r_2+n-1}{r_1+r_2-1}</math>

<math>(1-x)^{-r_1} (1-x)^{-r_2}=(1-x)^{-r_1-r_2}</math>

<math>(1-x)^{-r_1} (1-x)^{-r_2}=(\sum_{n=0}^{\infty} \binom {r_1+n-1}{r_1-1} x^n)(\sum_{n=0}^{\infty} \binom {r_2+n-1}{r_2-1} x^n)=\sum_{n=0}^{\infty} (\sum_{i=0}^n \binom {r_1+n-1-i}{r_1-1} \binom {r_2+i-1}{r_2-1}) x^n </math>

<math>(1-x)^{-r_1-r_2}=\sum_{n=0}^{\infty} \binom {r_1+r_2+n-1}{r_1+r_2-1} x^n</math>

主条目：范德蒙恒等式

• <math>\sum_{i=0}^k \binom ni \binom m{k-i}=\binom {n+m}k</math>

范德蒙恒等式与超几何函数有关系：

<math>\sum_{i=0}^k \binom ni \binom m{k-i}=\frac{m!}{k!(m-k)!}{}_2F_1(-n,-k;m-k+1;1)=\binom {n+m}k</math>

三阶求和公式

主条目：李善兰恒等式

• <math>{\binom {n+k}k}^2=\sum_{j=0}^k {\binom kj}^2 \binom {n+2k-j}{2k}</math>

范德蒙恒等式与广义超几何函数有关系：

<math>\sum_{j=0}^k {\binom kj}^2 \binom {n+2k-j}{2k}=\frac{(n+2k)!}{(2k)!n!}{}_3F_2 (-k,-k,-n;1,-n-2k;1)={\binom {n+k}k}^2</math>

定积分判断总和界限

当<math>f(x)</math>在[a,b]单调递增时：

<math>f(a) + \int_a^b f(x) dx \le \sum_{x=a}^{b} f(x) \le f(b) + \int_a^b f(x) dx</math>

当<math>f(x)</math>在[a,b]单调递减时：

<math>f(b) + \int_a^b f(x) dx \le \sum_{x=a}^{b} f(x) \le f(a) + \int_a^b f(x) dx</math>

求和函数

以<math>\sum_{i=1}^n i^9</math>为例：

• Matlab

syms k n;symsum(k^9,k,1,n)

• Mathematica

 In[1]:= Sum[i^9, {i, 1, n}]
 Out[1]:= <math>\frac{1}{20} n^2 (n+1)^2 \left(n^2+n-1\right) \left(2 n^4+4 n^3-n^2-3 n+1\right)</math>