几何中心

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三角形的中心

<math>n</math> 维空间中一个对象<math>X</math>的几何中心或形心是将<math>X</math>分成矩相等的两部分的所有超平面的交点。非正式地说，它是<math>X</math>中所有点的平均。如果一个物件质量分布平均，形心便是重心。

如果一个对象具有一致的密度，或者其形状和密度具有某种对称性足以确定几何中心，那么它的几何中心和质量中心重合，该条件是充分但不是必要的。

有限个点总存在几何中心，可以通过计算这些点的每个坐标分量的算术平均值得到。这个中心是空间中一点到这有限个点距离的平方和的唯一最小值点。点集的几何中心在仿射变换下保持不变。

性质[编辑]

一个凸对象的几何中心总在其内部。一个非凸对象的几何中心可能在外部，比如一个环或碗的几何中心不在内部。

三角形的中心[编辑]

更多信息：三角形的心

形心是三角形的几何中心，是指三角形的三条中线（顶点和对边的中点的连线）交点[1]。

三条中线共点证明[编辑]

File:Triangle.Centroid.Median.png
三条中线共点证明

用塞瓦定理逆定理可以直接证出：

<math>\frac{BE}{EC} \cdot \frac{CF}{FA} \cdot \frac{AD}{DB}=\frac{1}{1} \cdot \frac{1}{1} \cdot \frac{1}{1}=1</math>

因此三线共点。[2]

中心分每条中线比为2:1，这就是说距一边的距离是该边相对顶点距该边的<math>\dfrac{1}{3}</math>。如右图所示：

如果三角形是由均匀材料做成的薄片，那么几何中心也就是质量中心。它的笛卡尔坐标是三个顶点的坐标算术平均值。也就是说，如果三顶点位于<math>(x_a, y_a)</math>，<math>(x_b, y_b)</math>，和<math>(x_c, y_c)</math>，那么几何中心位于：

<math>\Big(
 \begin{matrix}\frac13\end{matrix} (x_a+x_b+x_c),\;
 \begin{matrix}\frac13\end{matrix} (y_a+y_b+y_c)\Big)

= \begin{matrix}\frac13\end{matrix} (x_a, y_a) + \begin{matrix}\frac13\end{matrix} (x_b, y_b) + \begin{matrix}\frac13\end{matrix} (x_c, y_c)</math>

中心分中线为2:1的证明[编辑]

设三角形ABC的中线<math>\overline{AD}</math>，BE和CF交于三角形的中心G，延长AD至点O使得

<math> AG = GO. \,</math>

那么三角形AGE和AOC 相似（公共角A，AO = 2 AG，AC = 2 AE），所以OC平行于GE。但是GE是BG的延长，所以OC平行于BG。同样的，OB平行于CG。

从而图形GBOC是一个平行四边形。因为平行四边形对角线互相平分，对角线GO和BC的交点使得GD = DO，这样

<math> GO = GD + DO = 2GD. \,</math>

所以，<math> AG = GO = 2GD\,</math>，或<math> AG:GD = 2: 1\,</math>，这对任何中线都成立。

性质[编辑]

  • 三角形的重心与三顶点连线，所形成的三个三角形面积相等。
  • 顶点到重心的距离是中线的<math>\tfrac{2}{3}</math>。
  • 外心<math>O</math>、重心<math>G</math>、九点圆圆心<math>F</math>、垂心<math>H</math>四点依次序共线，其中<math>OG:GF:FH=2:1:3</math>，此线称为欧拉线。
  • 内心<math>I</math>、重心<math>G</math>、斯俾克心<math>S</math>、奈格尔点<math>N</math>四点依次序共线，其中<math>IG:GS:SN=2:1:3</math>，此线称为奈格尔线。
  • 三角形的重心同时也是中点三角形的重心。
  • 在直角座标系中，若顶点的座标分别为<math>(x_1,y_1)</math>、<math>(x_2,y_2)</math>、<math>(x_3,y_3)</math>，则重心的座标为：
<math>\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3},\frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)</math>
<math>bc : ca : ab = \frac{1}{a} : \frac{1}{b} : \frac{1}{c} = \csc A : \csc B : \csc C</math>
<math>1 : 1 : 1</math>

四面体的中心[编辑]

类似三角形的中心的结论对四面体也成立，四面体的几何中心是所有顶点和相对平面中心的连线的交点。这些线段被中心分成3:1。这个结论能自然推广到任何<math>n</math>-维单形。如果单形的顶点集是<math>{v_0,...,v_n}</math>，将这些顶点看成向量，几何中心位于：

<math>\frac{1}{n+1}\sum_{i=0}^n v_i \; .</math>

多边形的中心[编辑]

一个由 <math>N</math> 个顶点 <math>(x_i,y_i)</math> 确定的不自交闭多边形的中心能如下计算：[3]

记号 <math>(x_N,y_N)</math> 与顶点 <math>(x_0,y_0)</math> 相同。多边形的面积为：

<math>A = \frac{1}{2}\sum_{i=0}^{N-1}(x_i\ y_{i+1} - x_{i+1}\ y_i)</math>

多边形的中心由下式给出：

<math>C_x = \frac{1}{6A}\sum_{i=0}^{N-1}(x_i+x_{i+1})(x_i\ y_{i+1} - x_{i+1}\ y_i)</math>
<math>C_y = \frac{1}{6A}\sum_{i=0}^{N-1}(y_i+y_{i+1})(x_i\ y_{i+1} - x_{i+1}\ y_i)</math>

有限点集的中心[编辑]

给定有限点集 <math>x_1,x_2,\ldots,x_k</math>属于<math>\mathbb{R}^n</math>，它们的中心定义<math>C</math>为

<math>C = \frac{x_1+x_2+\cdots+x_k}{k}</math>。

面积中心[编辑]

面积中心和质量中心非常类似，面积中心只取决于图形的几何形状。如果物体是均匀的，质量中心将位于面积中心。[4]

对于两部分组成的图形，将有如下等式：

<math> \overline{y} = \dfrac{\overline{y_1}A_1 + \overline{y_2}A_2}{A_1 + A_2}</math>

<math>\overline{y}</math>是特定部分的面积中心到所选参考系的距离。<math>A</math>是特定部分的面积。

当一个复杂几何图形可以分成一些已知的简单几何图形时，先计算各部分的面积中心，然后通过下面一般的公式计算整个图形的面积中心：

<math> \overline{x} = \frac{\sum \overline{x_i}A_i}{\sum A_i}</math>
<math> \overline{y} = \frac{\sum \overline{y_i}A_i}{\sum A_i}</math>

这里从y-轴到中心的距离是<math>\overline{x}</math>，从x-轴到中心的距离是<math>\overline{y}</math>，中心的坐标是<math>(\overline{x} , \overline{y})</math>。

积分公式[编辑]

一个平面图形的中心的横坐标（x轴）由积分

<math>C_x = \frac{\int x f(x) \; dx}{\int f(x) \; dx}</math>给出。

这里 <math>f(x)</math> 是对象位于在横坐标x点y轴上的长度，是在x图形的测度。这个公式能由区域关于y-轴的第一矩得出。

这个过程等价于取加权平均。假设y-轴表示频率，x-轴表示欲求平均值的变量，那么沿着x-轴的中心即 <math>\bar{x}</math>。从而中心可以想象成表示特定形状的许多无限小元的加权平均。

对任意维数 <math>n</math>，由相同的公式得出<math>\R^n</math>中一个对象的中心第一个坐标，假设 <math>f(x)</math> 是对象在坐标x的截面（也就是说，对象中第一个坐标为x的所有点的集合）的<math>(n-1)</math>-维测度。

注意到分母恰是对象的n- 维测度。特别的，在 <math>f</math> 为正规时，即分母为1，中心也称为 <math>f</math> 的平均。

当对象的测度为0或者积分发散，这个公式无效。

圆锥和棱锥的中心[编辑]

圆锥或棱锥的中心位于连接顶点和底的中心的线段上，分比为3:1。

对称中心[编辑]

如果中心确定了，那么中心是所有它对称群的不动点。从而对称能全部或部分确定中心，取决于对称的种类。另外可以知道，如果一个对象具有传递对称性，那么它的中心是不确定的或不在内部，因为一个传递变换群没有不动点。

地理中心[编辑]

地理学中，地球表面一个区域的几何中心也称为地理中心。

参见[编辑]

参考文献[编辑]

  1. ^ 几何原本ISBN 957-603-016-1
  2. ^ 几何明珠ISBN 957-603-197-4
  3. ^ Calculating the area and centroid of a polygon. [2008-10-16]. （原始内容存档于2008-10-16）. 
  4. ^ Area Centroid. [2008-10-16]. （原始内容存档于2008-10-20）. 

外部链接[编辑]

检索自“https://arolstar52-zhtest.hf.space/index.php?title=几何中心&oldid=459433#三角形的中心”