中线
中线或重线是三角形中从某边的中点连向对角的顶点的线段。三角形的三条中线总是相交于同一点，这个点称为三角形的重心。
性质1[编辑]
任意三角形的三条中线把三角形分成面积相等的六个部分。中线都把三角形分成面积相等的两个部分。除此之外，任何其他通过中点的直线都不把三角形分成面积相等的两个部分。
证明[编辑]
考虑三角形 <math>ABC</math>。设<math>D</math>为<math>\overline{AB}</math>的中点，<math>E</math>为<math>\overline{BC}</math>的中点，<math>F</math>为<math>\overline{AC}</math>的中点，<math>O</math>为重心。
根据定义，<math>AD=DB, AF=FC, BE=EC</math>，因此<math>[ADO]=[BDO], [AFO]=[CFO], [BEO]=[CEO], [ABE]=[ACE]</math>，其中<math>[ABC]</math>表示三角形ABC的面积。
我们有：
- <math>[ABO]=[ABE]-[BEO]</math>
- <math>[ACO]=[ACE]-[CEO]</math>
因此，<math>[ABO]=[ACO]</math>且<math>[ADO]=[DBO], [ADO]=\frac{1}{2}[ABO]</math>。
由于<math>[AFO]=[FCO], [AFO]= \frac{1}{2}[ACO]=\frac{1}{2}[ABO]=[ADO]</math>，所以<math>[AFO]=[FCO]=[DBO]=[ADO]</math>。 同理，也可以证明<math>[AFO]=[FCO]=[DBO]=[ADO]=[BEO]=[CEO]</math>。
性质2[编辑]
在 <math>\triangle ABC</math> 中，连接角 <math>A</math> 的中线记为<math>m_a</math>，连接角 <math>B</math> 的中线记为<math>m_b</math>，连接角 <math>C</math> 的中线记为<math>m_c</math>，它们长度的公式为：
- <math>m_a=\frac{1}{2}\sqrt{2(b^2+c^2)-a^2}</math>
- <math>m_b=\frac{1}{2}\sqrt{2(c^2+a^2)-b^2}</math>
- <math>m_c=\frac{1}{2}\sqrt{2(a^2+b^2)-c^2}</math>
证明[编辑]
- 在 <math>\triangle ABD</math> 中，<math>AD=m_a</math>
- <math>(m_a)^2=(AB)^2+(BD)^2-2(AB)(BD)\cos \angle ABD</math>（余弦定理）
- 以 <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> 表示<math>\cos \angle ABD</math>
- <math>i.e.\ \cos \angle ABD=\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}</math> & <math> BD=\frac{a}{2}</math>
- 把以上两等式代入原式，
- <math>i.e.\ (m_a)^2=(c)^2+(\frac{a}{2})^2-2(c)(\frac{a}{2})\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}</math>
- <math>=(c)^2+(\frac{a^2}{4})-(\frac{c^2+a^2-b^2}{2})</math>
- <math>=\frac{4c^2+a^2-2c^2-2a^2+2b^2}{4}</math>
- <math>=\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}</math>
- ∴<math>m_a=\frac{1}{2}\sqrt{2(b^2+c^2)-a^2}</math>
同理，可证得其他二式