内切圆

File:三角形の内心.png

三角形的角平分线会相交于内切圆的圆心

在数学中，若一个二维平面上的多边形的每条边都能与其内部的一个圆形相切，该圆就是所谓的多边形的内切圆，这时称这个多边形为圆外切多边形。它亦是多边形内部最大的圆形。内切圆的圆心被称为该多边形的内心。

一个多边形至多有一个内切圆，也就是说对于一个多边形，它的内切圆，如果存在的话，是唯一的。并非所有的多边形都有内切圆。三角形和正多边形一定有内切圆。拥有内切圆的四边形被称为圆外切四边形。

三角形的内切圆

任何三角形<math>ABC</math>都有内切圆。这个内切圆的圆心称为内心，一般标记为<math>I</math>，是三角形内角平分线的交点。在三线坐标，内心是1:1:1。

性质

内切圆的半径为<math>\frac{2\triangle}{a+b+c}</math>，当中<math>\triangle</math>表示三角形的面积，<math>a</math>、<math>b</math>、<math>c</math>为三角形的三个边长。

以内切圆和三角形的三个切点为顶点的三角形<math>T_A T_B T_C</math>是<math>ABC</math>的内接三角形之一。<math>ABC</math>的内切圆就是<math>T_A T_B T_C</math>的外接圆。而<math>AT_A</math>、<math>BT_B</math>和<math>CT_C</math>三线交于一点，它们的交点就是热尔岗点（Gergonne point）。内切圆与九点圆相切，切点称作费尔巴哈点（见九点圆）。

若以三角形的内切圆为反演圆进行反演，则三角形的三条边和外接圆会分别变为半径相等的四个圆（半径都等于内切圆半径的一半）。

三角形的外接圆半径<math>R</math>、内切圆半径<math>r</math>以及内外心间距<math>OI</math>之间有如下关系：

<math>R^2 - OI^2 = 2Rr</math>

直角三角形两股和等于斜边长加上该三角形内切圆直径

<math>a+b=c+2r</math>

由此性质再加上勾股定理<math>a^2+b^2=c^2</math>，可推得：

<math>\triangle =r(r+c)</math>

在直角座标系中，若顶点的座标分别为<math>(x_1,y_1)</math>、<math>(x_2,y_2)</math>、<math>(x_3,y_3)</math>，则内心的座标为：

<math>(\frac{ax_1+bx_2+cx_3}{a+b+c},\frac{ay_1+by_2+cy_3}{a+b+c})</math>

若<math>I</math>为三角形<math>ABC</math>的内心，<math>AI</math>所在直线交三角形<math>ABC</math>外接圆于点<math>D</math>，则有<math>ID=DB=DC</math>(见鸡爪定理)

四边形的内切圆

不是所有的四边形都有内切圆，拥有内切圆的四边形称为圆外切四边形。凸四边形<math>ABCD</math>有内切圆当且仅当两对对边之和相等：<math>AB+CD = AD+BC</math>，此命题称为皮托定理。圆外切四边形的面积和内切圆半径的关系为： <math>S_{ABCD} = rs</math>，其中<math>s</math>为半周长。

同时拥有内切圆和外接圆的四边形称为双心四边形。这样的四边形有无限多个。若一个四边形为双心四边形，那么其内切圆在两对对边的切点的连线相互垂直。而只要在一个圆上选取两条相互垂直的弦，并过相应的顶点做切线，就能得到一个双心四边形。

正多边形的内切圆

正多边形必然有内切圆，而且其内切圆的圆心和外接圆的圆心重合，都在正多边形的中心。边长为<math>a</math>的正多边形的内切圆半径为：

<math>r_n = \frac{a}{2} \cot \left(\frac{\pi}{n} \right)</math>

其内切圆的面积为：

<math>s_n =\pi r_n^2 = \frac{ \pi a^2}{4} \cot^2 \left(\frac{\pi}{n} \right)</math>

内切圆面积<math>s_n</math>与正多边形的面积<math>S_n</math>之比为：

<math>\varphi_n = \frac{s_n } { S_n } = \dfrac{ \frac{ \pi a^2}{4} \cot^2 \left(\frac{\pi}{n} \right) } { \frac{ n a }{2} \left[ \frac{a}{2} \cot\left( \frac{\pi}{n} \right)\right] } = \frac{\pi}{n} \cot \left(\frac{\pi}{n} \right)</math>

故此，当正多边形的边数<math>n</math>趋向无穷时，

<math>\lim_{n \to \infty} \varphi_n = \lim_{n\to \infty} \frac{ \pi} {n} \cot \left( \frac{ \pi} { n } \right) = \lim_{n \to \infty} \cos^2 \left( \frac{ \pi } { n } \right) = 1</math>

参见

• 旁切圆
• 外接圆
• 九点圆
• 内切球
• 鸡爪定理
• 伪内切圆