导集

在数学，特别是点集拓扑学中，拓扑空间的子集<math>S</math>的导集（导出集合）是<math>S</math>的所有极限点的集合。它通常记为 <math>S'</math>。

这个概念是格奥尔格·康托尔在1872年引入的，他开发集合论很大程度上就是为了研究在实直线上的导出集合。

导集公理

导集是拓扑学的基础概念之一，可以用来定义拓扑空间。 给定集合<math>X</math>，考虑一个定义在<math>X</math>的幂集<math>\mathcal{P}(X)</math>上的运算<math>d: \mathcal{P}(X) \to \mathcal{P}(X)</math>，若<math>d</math>满足以下导集公理，则称<math>d</math>为导集运算：

• D₁：<math>d(\empty) = \empty</math>
• D₂：<math>d(d(A)) \subseteq d(A) \cup A</math>
• D₃：<math>\forall x \in X,\ d(A) = d(A - \{x\})</math>
• D₄：<math>d(A\cup B) = d(A)\cup d(B)</math>

<math>d(A)</math>称为<math>A</math>的导集。

从导集出发可以定义各种拓扑的基础概念：

• 闭集：<math>X</math>的子集<math>A</math>是闭集，当且仅当<math>d(A) \subseteq A</math>。（从此处可以看到和闭集公理的等价性，从而可以等价地定义拓扑空间。）
• 同胚：拓扑空间<math>T_1(X_1,\tau_1)</math>、<math>T_1(X_2,\tau_2)</math>同胚，当且仅当存在双射<math>f: \mathcal{P}(X_1) \to \mathcal{P}(X_2)</math>，使得<math>\forall A \subseteq X_1,\ f(d(A)) = d(f(A))</math>。

相关概念

聚点

<math>d(A)</math>中的点称为<math>A</math>的聚点。

性质

• <math>S,T\subseteq X</math>，若<math>S\cap T=\empty</math>，<math>S\cap d(T)=\empty</math>，<math>d(S)\cap T=\empty</math>。则称<math>S</math>和<math>T</math>是分离的。（注意：<math>d(S)\cap d(T)</math>不一定为<math>\empty</math>）。
• 集合<math>S</math>被定义为完美的，如果<math>S=d(S)</math>。等价地说，完美集合是没有孤点的闭集。完美集合又称为完备集合。
• Cantor-Bendixson定理声称任何波兰空间都可以写为可数集合和完美集合的并集。因为任何波兰空间的<math>G_\delta</math>子集都再次是波兰空间，这个定理还证明了任何波兰空间的<math>G_\delta</math>子集都是可数集合和完美集合的并集。
• 拓扑空间<math>X</math>是T₁ 空间，当且仅当<math>\forall x\in X,\ d(\{x\}) = \empty</math>。

引用

• Kechris, A. Classical Descriptive Set Theory Graduate Texts in Mathematics 156. Springer. 1995. ISBN 0-387-94374-9 ISBN 3-540-94374-9 （English）. 
• Sierpiński, Wacław F.; translated by Krieger, C. Cecilia (1952). General Topology. University of Toronto Press.

参见

• 极限点
• 导出代数