包络
物理学和工程学中，振荡信号的包络是一条勾勒出极值的光滑曲线。[1]因此，包络将恒定振幅的概念推广为瞬时振幅。下图展示了在上包络与下包络之间振荡的调制正弦曲线。包络函数可以是时间、空间、角度或任何变量的函数。
拍频波[编辑]
在空间x和时间t中产生包络函数的常见情况是波长和频率几乎相同的两个波的叠加：[2]
- <math>
\begin{align} F(x, \ t) & = \sin \left[ 2 \pi \left( \frac {x}{\lambda - \Delta \lambda } - ( f + \Delta f )t \right) \right] + \sin \left[ 2 \pi \left( \frac {x}{\lambda + \Delta \lambda } - ( f - \Delta f )t \right) \right] \\[6pt] & \approx 2\cos \left[ 2 \pi \left( \frac {x} {\lambda_{\rm mod}} - \Delta f \ t \right) \right] \ \sin \left[ 2 \pi \left( \frac {x}{\lambda} - f \ t \right) \right] \end{align} </math>
其中使用了两个正弦波相加的三角函数，以及近似值Δλ ≪ λ：
- <math>\frac{1}{\lambda \pm \Delta \lambda}=\frac {1}{\lambda}\ \frac{1}{1\pm\Delta \lambda / \lambda }\approx \frac{1}{\lambda}\mp \frac {\Delta \lambda}{\lambda^2} .</math>
- <math> \lambda_{\rm mod} = \frac {\lambda^2}{\Delta \lambda}\ . </math>
调制波长是包络波长的两倍，因为余弦波的每半个波长都控制着正弦波的正负值。同样，拍频是包络波的频率，是调制波频率的两倍，即2Δf。[4]
如果这种波是声波，耳朵听到的是与f有关的频率，振幅随拍频的变化而变化。[4]
相速度与群速度[编辑]
除2π之外，上述正弦波的参数是：
- <math>\xi_C =\left( \frac {x}{\lambda} - f \ t \right)\ , </math>
- <math>\xi_E=\left( \frac {x} {\lambda_{\rm mod}} - \Delta f \ t \right) \ , </math>
下标C、E分别指载波和包络。同样的振幅F来自相同的ξC、ξE值，在适当相关的x、t选择下，每个本身都可能返回到相同的值。这种不变性意味着可以在空间中追踪波形，并找到固定振幅的位置在时间中传播时的速度；要使载波参数保持不变，条件为：
- <math>\left( \frac {x}{\lambda} - f \ t \right) = \left( \frac {x+\Delta x}{\lambda} - f (t + \Delta t) \right)\ , </math>
这表明，要保持恒定振幅，距离Δx与时间间隔Δt的关系是相速度 vp
- <math>v_{\rm p} = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \lambda f \ . </math>
- <math>v_{\rm g} = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \lambda_{\rm mod}\Delta f =\lambda^2 \frac{\Delta f}{\Delta \lambda} \ . </math>
引入波向量k，可得更常见的群速度表达式：
- <math>k=\frac{2\pi}{\lambda} \ . </math>
注意到，对于微小变化Δλ而言，相应的波向量小变化Δk为：
- <math> \Delta k = \left|\frac{dk}{d\lambda}\right|\Delta \lambda = 2\pi \frac{\Delta \lambda}{\lambda^2} \ , </math>
于是群速度可重写为：
- <math> v_{\rm g}= \frac {2\pi\Delta f}{\Delta k} =\frac {\Delta \omega}{\Delta k}\ , </math>
其中ω是以弧度/秒为单位的频率：ω = 2πf。在所有介质中，频率和波向量都与色散关系ω = ω(k)有关，群速度可以写成：
- <math>v_{\rm g} =\frac{d\omega (k)}{dk} \ . </math>
在经典真空等介质中，电磁波的色散关系为：
- <math>\omega = c_0 k </math>
其中c0是经典真空中的光速。这种情况下，相速度和群速度都是c0。
在所谓色散介质中，色散关系可能是波向量的复杂函数，相速度和群速度也不尽相同。例如，对于GaAs中原子振动（声子）表现出的几种波，不同波向量k方向的色散关系如图所示。一般而言，相速度和群速度的方向可能不同。[7]
函数近似[编辑]
凝聚态物理学中，晶体中移动电荷载流子的能量本征函数可表为布洛赫波：
- <math>\psi_{n\mathbf{k}}(\mathbf{r})=e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}u_{n\mathbf{k}}(\mathbf{r}) \ ,</math>
其中n是带的编号（如导带或价带），r是空间位置，k是波矢。指数是正弦变化函数，对应一个缓慢变化的包络，调制波函数un, k的快速变化部分，描述波函数在晶格原子核心附近的行为。包络只限于晶体布里渊区限定范围内的k值，这就限制了它随位置r变化的速度。
用量子力学确定载流子行为时，通常使用包络近似法。其中薛定谔方程被简化到仅指包络的行为，边界条件直接应用于包络函数，而非完整的波函数。[9]例如，被困在杂质附近的载流子波函数受包络函数F支配，函数是布洛赫函数的叠加：
- <math>\psi( \mathbf r )= \sum_{\mathbf k } F( \mathbf k ) e^{i\mathbf{k\cdot r}}u_{\mathbf {k}}(\mathbf r ) \ , </math>
其中包括F(k)的傅立叶分量由近似薛定谔方程求得。[10]在某些应用中，周期部分uk被带缘附近的值取代，如k=k0，接着：[9]
- <math>\psi( \mathbf r )\approx \left( \sum_{\mathbf k } F( \mathbf k ) e^{i\mathbf{k\cdot r}}\right)u_{\mathbf{k}=\mathbf{k}_0}(\mathbf r ) = F( \mathbf r )u_{\mathbf{k}=\mathbf{k}_0}(\mathbf r ) \ . </math>
衍射图样[编辑]
多缝衍射图样的包络由单缝衍射图样决定，后者的包络线如下：[11]
- <math>I_1=I_0 \sin^2\left(\frac {\pi d \sin \alpha}{\lambda}\right) / \left(\frac {\pi d \sin \alpha }{\lambda}\right)^2 \ , </math>
其中α是衍射角，d是狭缝宽度，λ是波长。对多个狭缝，图样为[11]
- <math>I_q = I_1 \sin^2 \left( \frac {q\pi g \sin \alpha} {\lambda} \right) / \sin^2 \left( \frac{ \pi g \sin \alpha}{\lambda}\right) \ , </math>
其中q为狭缝数量，g是光栅常数。第一个因子即单缝结果I1，调制着第二个变化更快的因子，取决于狭缝数量与间距。
估计[编辑]
包络检波器是从信号中提取包络的电子电路。
在数字信号处理中，可用希尔伯特变换或滑动平均RMS振幅估计包络。[12]
另见[编辑]
参考文献[编辑]
- ^ C. Richard Johnson, Jr; William A. Sethares; Andrew G. Klein. Figure C.1: The envelope of a function outlines its extremes in a smooth manner. Software Receiver Design: Build Your Own Digital Communication System in Five Easy Steps. Cambridge University Press. 2011: 417. ISBN 978-0521189446.
- ^ 2.0 2.1 Blair Kinsman. Wind Waves: Their Generation and Propagation on the Ocean Surface Reprint of Prentice-Hall 1965. Courier Dover Publications. 2002: 186. ISBN 0486495116.
- ^ Mark W. Denny. Air and Water: The Biology and Physics of Life's Media需要免费注册. Princeton University Press. 1993: 289. ISBN 0691025185.
- ^ 4.0 4.1 Paul Allen Tipler; Gene Mosca. Physics for Scientists and Engineers, Volume 1 6th. Macmillan. 2008: 538. ISBN 978-1429201247.
- ^ Peter W. Milonni; Joseph H. Eberly. §8.3 Group velocity. Laser Physics 2nd. John Wiley & Sons. 2010: 336. ISBN 978-0470387719.
- ^ Peter Y. Yu; Manuel Cardona. Fig. 3.2: Phonon dispersion curves in GaAs along high-symmetry axes. Fundamentals of Semiconductors: Physics and Materials Properties 4th. Springer. 2010: 111. ISBN 978-3642007095.
- ^ V. Cerveny; Vlastislav Červený. §2.2.9 Relation between the phase and group velocity vectors. Seismic Ray Theory. Cambridge University Press. 2005: 35. ISBN 0521018226.
- ^ G Bastard; JA Brum; R Ferreira. Figure 10 in Electronic States in Semiconductor Heterostructures. Henry Ehrenreich; David Turnbull (编). Solid state physics: Semiconductor Heterostructures and Nanostructures. 1991: 259. ISBN 0126077444.
- ^ 9.0 9.1 Christian Schüller. §2.4.1 Envelope function approximation (EFA). Inelastic Light Scattering of Semiconductor Nanostructures: Fundamentals And Recent Advances. Springer. 2006: 22. ISBN 3540365257.
- ^ For example, see Marco Fanciulli. §1.1 Envelope function approximation. Electron Spin Resonance and Related Phenomena in Low-Dimensional Structures. Springer. 2009: 224 ff. ISBN 978-3540793649.
- ^ 11.0 11.1 Kordt Griepenkerl. Intensity distribution for diffraction by a slit and Intensity pattern for diffraction by a grating. John W Harris; Walter Benenson; Horst Stöcker; Holger Lutz (编). Handbook of physics. Springer. 2002: 306 ff. ISBN 0387952691.
- ^ Envelope Extraction - MATLAB & Simulink. MathWorks. 2021-09-02 [2021-11-16]. （原始内容存档于2023-10-19）.
