波矢

本条目中，矢量与标量分别用粗体与斜体显示。例如，位置矢量通常用 <math>\mathbf{r}\,\!</math> 表示；而其大小则用 <math>r\,\!</math> 来表示。四维矢量用加有标号的斜体显示。例如，<math>{x}^{\mu}\,\!</math>或<math>{x}_{\mu}\,\!</math>。为了避免歧意，四维矢量的斜体与标号之间不会有括号。例如，<math>(x)^2\,\!</math>表示<math>x\,\!</math>平方；而<math>{x}^2\,\!</math>是<math>{x}^{\mu}\,\!</math>的第二个分量。

波矢是波的矢量表示方法。波矢是一个矢量，其大小表示波数（<math>k=|{\mathbf k}| = 2\pi/\lambda</math>），其方向表示波传播的方向。

波矢在狭义相对论背景下可定义为四维矢量。

定义

参见：行波

File:Wave new sine.svg

正弦波波长λ可以通过测量相位相同的任意相邻两点间的距离得到，这两点可以是相邻的波峰、波谷或是如图所示的零交点。

File:Simple harmonic motion animation.gif

当波行进时，给定点的值以正弦作正弦振动。

波矢有两种常见的定义，区别在于振幅因子是否乘以<math>2\pi</math>，两种定义分别用于物理学和晶体学以及它们的相关领域。

物理学定义

理想的一维行波遵循如下方程：

<math>\psi(x,t) = A \cos (k x - \omega t+\varphi)</math>

其中：

• x为位置；
• t为时间；
• <math>\psi</math>（x和t的函数）是对波进行描述的扰动（例如对于海浪，<math>\psi</math>是超出水面的高度；对于声波，<math>\psi</math>是超气压）；
• A是波的振幅（振动的峰值）；
• <math>\varphi</math>是相位偏移，描述了两个波互相之间不同步的程度；
• <math>\omega</math>是波的角频率，描述了在一个给定点波振动的快慢程度；
• <math>k</math>是波数，与波长成反比，由<math>k=2\pi/\lambda</math>求出。

此波在+x方向上行进，相速度为<math>\omega/k</math>。

推广到三维情况下，方程为：

<math>\psi \left({\mathbf r}, t \right) = A \cos \left({\mathbf k} \cdot {\mathbf r} - \omega t + \varphi \right)</math>

其中：

• r是三维空间中的位置矢量；
• <math>\cdot</math> 是矢量点积；
• k是波矢。

这一方程描述了平面波。一维情况下，波矢的大小是角波数<math>|{\mathbf k}| = 2\pi/\lambda</math>。波矢的方向是平面波行进的方向。

晶体学定义

在晶体学中，描述相同的波的方程略有不同。在一维和三维情况下的方程分别为：

<math>\psi(x,t) = A \cos (2 \pi (k x - \nu t)+\varphi)</math>

<math>\psi \left({\mathbf r}, t \right) = A \cos \left(2\pi({\mathbf k} \cdot {\mathbf r} - \nu t) + \varphi \right)</math>。

不同点在于：

• 晶体学定义使用了频率<math>\nu</math>，而不是角频率<math>\omega</math>，由公式<math>2\pi \nu=\omega</math>，二者可以相互转换。这种置换主要反映了在晶体学中的常见应用。
• 波数k以及波矢k的定义方式不同。此处的<math>k=|{\mathbf k}| = 1/\lambda</math>，而在物理学定义中，<math>k=|{\mathbf k}| = 2\pi/\lambda</math>。

狭义相对论

接近单色光的波包可以由波矢

<math>k^\mu = \left(\frac{\omega}{c}, \vec{k} \right) \,</math>

准确描述，若明确的改写成共变和反变形式，则

<math>k^\mu = \left(\frac{\omega}{c}, k^1, k^2, k^3 \right)\, </math>且

<math>k_\mu = \left(\frac{\omega}{c}, -k_1, -k_2, -k_3 \right) \,</math>。

于是波矢的大小为

<math>k^2 = k^\mu k_\mu = k^0 k_0 - k^1 k_1 - k^2 k_2 - k^3 k_3 \,</math>

<math>=\frac{\omega^2}{c^2} - \vec{k}^2 = 0 \,</math>

最后一步等于零是因为对于真空中的光满足

<math>k = \frac{\omega}{c} \,</math>

洛伦兹变换

对波矢作洛伦兹变换可导出相对论性多普勒效应。洛伦兹矩阵定义为

<math>\Lambda = \begin{bmatrix}

\gamma&-\beta \gamma&0&0 \\ -\beta \gamma&\gamma&0&0 \\ 0&0&1&0 \\ 0&0&0&1 \end{bmatrix} </math>。

在光被快速移动的波源激发的情况下，若要在地球坐标系（实验室坐标系）中检定光的频率，就要使用洛伦兹变换，如下所示。注意波源位于坐标系S ^s，地球位于观测系S ^obs。 对波矢进行洛伦兹变换得到

<math>k^{\mu}_s = \Lambda^\mu_\nu k^\nu_{\mathrm{obs}} \,</math>。

只考虑<math>\mu = 0</math>分量的情况，得到

<math>k^{0}_s = \Lambda^0_0 k^0_{\mathrm{obs}} + \Lambda^0_1 k^1_{\mathrm{obs}} + \Lambda^0_2 k^2_{\mathrm{obs}} + \Lambda^0_3 k^3_{\mathrm{obs}} \,</math>。

<math>\frac{\omega_s}{c} \,</math>	<math>= \gamma \frac{\omega_{\mathrm{obs}}}{c} - \beta \gamma k^1_{\mathrm{obs}} \,</math>
	<math>\quad = \gamma \frac{\omega_{\mathrm{obs}}}{c} - \beta \gamma \frac{\omega_{\mathrm{obs}}}{c} \cos \theta \,</math> 其中<math> \cos \theta \,</math>是<math>k^1</math>关于<math>k^0</math>的方向余弦<math>k^1 = k^0 \cos \theta </math>。

因此

<math>\frac{\omega_{\mathrm{obs}}}{\omega_s} = \frac{1}{\gamma (1 - \beta \cos \theta)} \,</math>

波源远离观测者

当波源径直地远离观测者时，<math>\theta=\pi</math>，方程变为：

<math>\frac{\omega_{\mathrm{obs}}}{\omega_s} = \frac{1}{\gamma (1 + \beta)} = \frac{\sqrt{1-\beta^2}}{1+\beta} = \frac{\sqrt{(1+\beta)(1-\beta)}}{1+\beta} = \frac{\sqrt{1-\beta}}{\sqrt{1+\beta}} \,</math>。

波源接近观测者

当波源径直地接近观测者时，<math>\theta=0</math>，方程变为：

<math>\frac{\omega_{\mathrm{obs}}}{\omega_s} = \frac{\sqrt{1+\beta}}{\sqrt{1-\beta}} \,</math>。

参考文献

• Brau, Charles A. Modern Problems in Classical Electrodynamics. Oxford University Press. 2004. ISBN 0-19-514665-4.