正交群

数学上，数域F上的n阶正交群，记作O(n,F)，是F上的n×n 正交矩阵在矩阵乘法下构成的群。它是一般线性群GL(n,F)的子群，由

<math>\mathrm{O}(n,F) = \{ Q \in \mathrm{GL}(n,F) \mid Q^T Q = Q Q^T = I \} \;</math>给出。

这里Q^T是Q的转置。实数域上的经典正交群通常就记为O(n)。

更一般地，F上一个非奇异二次型的正交群是保持二次型不变的矩阵构成的群。嘉当-迪奥多内定理描述了这个正交群的结构。

每个正交矩阵的行列式为1或−1。行列式为1的n×n正交矩阵组成一个O(n,F)的正规子群，称为特殊正交群SO(n,F)。如果F的特征为2，那么1 = −1，从而O(n,F)和SO(n,F)相等；其他情形SO(n,F)在O(n,F)中的指数是2。特征2且偶数维时，很多作者用另一种定义，定义SO(n,F)为迪克森不变量的核，这样它在O(n,F)中总有指数2。

O(n,F)和SO(n,F)都是代数群，因为如果一个矩阵是正交的条件，即转置等于逆矩阵，能够定义成一些关于矩阵分量的多项式方程。

实数域上的正交群

实数域R上的正交群O(n,R)和特殊正交群SO(n,R)在不会引起误会时经常记为O(n)和SO(n)。他们是n(n-1)/2 维实紧李群。O(n,R)有两个连通分支，SO(n,R)是单位分支，即包含单位矩阵的连通分支。

实正交群和特殊正交群有如下的解释：

O(n,R)是欧几里得群E(n)的子群，E(n)是Rⁿ的等距群；O(n,R)由其中保持原点不动等距组成。它是以原点为中心的球面 (n = 3)、超球面和所有球面对称的对象的对称群。

SO(n,R)是E⁺(n)的子群，E⁺(n)是“直接”等距，即保持定向的等距；SO(n,R)由其中保持原点不动的等距组成。它是以原点为中心的球面和所有球面对称对象的旋转群。

{ I, −I }是O(n,R)的正规子群并是特征子群；如果n是偶数，对SO(n,R)也对。如果n是奇数，O(n,R)是SO(n,R)和{ I, −I }的直积。k重旋转循环群C_k对任何正整数k都是O(2,R)和SO(2,R)的正规子群。

取合适的正交基，等距是

<math>\begin{bmatrix}

\begin{matrix}R_1 & & \\ & \ddots & \\ & & R_k\end{matrix} & 0 \\ 0 & \begin{matrix}\pm 1 & & \\ & \ddots & \\ & & \pm 1\end{matrix} \\ \end{bmatrix}</math>

的形式。这里矩阵R₁,...,R_k是2×2旋转矩阵。

圆的对称群是O(2,R)，也称为Dih(S¹)，这里S¹是模长1复数的乘法群。

SO(2,R) (作为李群)同构于圆S¹（圆群）。这个同构将复数exp(φi) = cos(φ) + i sin(φ)映到正交矩阵

<math>\begin{bmatrix}\cos(\phi)&-\sin(\phi)\\

\sin(\phi)&\cos(\phi)\end{bmatrix}</math>。

群SO(3,R)，视为3维空间的旋转，是科学和工程中最重要的群。参见旋转群和3×3旋转矩阵利用轴和角的一般公式

在代数拓扑方面，对n > 2，SO(n,R)的基本群是2阶循环，而自旋群Spin(n)是其万有覆叠。对n = 2基本群是无限循环而万有覆叠对应于实数轴（旋量群Spin(2)是惟一的2重复叠）

李群O(n,R)和SO(n,R的李代数由斜对称实n×n矩阵组成，李括号由交换子给出。这个李代数经常记为 o(n,R)或so(n,R)。

保持原点的3维同构

保持R³原点不动的同构，组成群O(3,R)，能分成如下几类：

• SO(3,R):
  • 恒同
  • 绕一个过原点的轴转动不等于180°
  • 绕一个过原点的轴转动180°
• 以上与关于原点的点反演（x映到−x）复合，分别为：
  • 关于原点的点反演
  • 绕一轴旋转一个不等于180°的角度，与关于过垂直于轴且过原点的平面的反射的复合
  • 关于一个过原点的平面的反射

特别地指出4阶和5阶正交群，在更宽泛的意义下6阶也是，称为反射旋转。类似的参见欧几里得群。

共形群

主条目：共形群

作为保持距离的同构，正交变换也保角，从而是共形变换，但是不是所有的共形变换都是正交变换。Rⁿ的线性共形映射构成的群记作CO(n)，由正交群和收缩的乘积给出。如果n是奇数，两个子群不相交，他们是直积：<math>\operatorname{CO}(2n+1) = \operatorname{O}(2n+1) \times \mathbf{R}</math>；如果n是偶数，两个子群的交是<math>\pm 1</math>，所以这不是直积，但这是和正收缩子群的直积：<math>\operatorname{CO}(2n) = \operatorname{O}(2n) \times \mathbf{R}^+ \;</math>。

我们可以类似地定义CSO(n)，这时总有<math>\operatorname{CSO}(n) := \operatorname{CO}(n) \cap \operatorname{GL}_+(n) = \operatorname{SO}(n) \times \mathbf{R}^+ \;</math>。

复数域上正交群

复数域C上，O(n,C)和SO(n,C)是C上n(n-1)/2维的李群，这意味着实维数是n(n-1)。O(n,C)有两个连通分支，SO(n,C)是包含恒同矩阵的分支。当n ≥ 2时，这些群非紧。

和实情形一样，SO(n,C)不是单连通的，对n > 2 SO(n,C)的基本群是2阶循环群，而SO(2,C)的基本群是无穷循环群。

O(n,C)和SO(n,C)的复李代数由斜对称复n×n矩阵组成，李括号由交换子给出。

拓扑

低维数

低维实正交群是熟悉的空间：

<math>\begin{align}

O(1) &= \left\{\pm 1\right\} = S^0\\ SO(1) &= \left\{1\right\} = *\\ SO(2) &= S^1\\ SO(3) &= \mathbf{RP}^3 \end{align}</math>

由于三维旋转在工程中有重要应用，产生了很多SO(3)上的卡。

同伦群

正交群的同伦群和球面的同伦群密切相关，从而一般是很难计算的。

但是我们可以计算出稳定正交群的同伦群（也称为有限正交群），定义为包含序列

<math>O(0) \subset O(1)\subset O(2)\subset\cdots\subset O = \bigcup_{k=0}^\infty O(k)</math>

的正向极限（因为包含都是闭包含，从而是上纤维化，也能理解成并）。

<math>S^n</math>是<math>O(n+1)</math>的齐性空间，从而有如下纤维丛：

<math>O(n) \to O(n+1) \to S^n,</math>

可以理解为：正交群<math>O(n+1)</math> 传递地作用于单位球面<math>S^n</math>上，一点（看作一个单位向量）的稳定子群是其正交补的正交群，这是第一维的正交群。映射<math>O(n) \to O(n+1)</math>是自然包含。

从而包含<math>O(n) \to O(n+1)</math>是(n-1) -连通的，故同伦群稳定，对<math>n > k + 1</math>有<math>\pi_k(O) = \pi_k(O(n))</math>，所以稳定空间的同伦群等于非稳定空间的低维同伦群。

通过博特周期性定理，<math>\Omega^8 O \simeq O</math>，从而O的同伦群以8为周期，即 <math>\pi_{k+8} O = \pi_k O</math>，这样我们只要计算出最低8个同伦群就算出了所有群。

<math>\begin{align}

\pi_0 O &= \mathbf Z/2\\ \pi_1 O &= \mathbf Z/2\\ \pi_2 O &= 0\\ \pi_3 O &= \mathbf Z\\ \pi_4 O &= 0\\ \pi_5 O &= 0\\ \pi_6 O &= 0\\ \pi_7 O &= \mathbf Z\\ \end{align}</math>

和KO-理论的关系

通过cluching construction，稳定空间O的同伦群和稳定球面上的向量丛等价（同构的意义下），提高一个维数：<math>\pi_k O = \pi_{k+1} BO</math>。

设<math>KO = BO \times \mathbf Z = \Omega^{-1} O \times \mathbf Z</math>（使得<math>\pi_0</math>满足周期性），我们得到：

<math>\begin{align}

\pi_0 KO &= \mathbf Z\\ \pi_1 KO &= \mathbf Z/2\\ \pi_2 KO &= \mathbf Z/2\\ \pi_3 KO &= 0\\ \pi_4 KO &= \mathbf Z\\ \pi_5 KO &= 0\\ \pi_6 KO &= 0\\ \pi_7 KO &= 0\\ \end{align}</math>

同伦群的计算和解释

低维群

最初的几个同论群可以用低维群的同论群具体的描述。

• <math>\pi_0(O) = \pi_0(O(1)) = \mathbf Z/2</math>保持/反定向（这个类存留到<math>O(2)</math>从而稳定）

<math>SO(3) = \mathbf{RP}^3 = S^3/(\mathbf Z/2)</math>得出：

• <math>\pi_1(O) = \pi_1(SO(3)) = \mathbf Z/2</math>即自旋群
• <math>\pi_2(O) = \pi_2(SO(3)) = 0</math>，有到<math>\pi_2(SO(4))</math>的满射，从而后一个群消失。

李群

由李群一般性事实，<math>\pi_2 G</math>总消失，<math>\pi_3 G</math>是自由阿贝尔群。

向量丛

从向量丛的观点来看，<math>\pi_0(KO)</math>是<math>S^0</math>上的向量丛，具有两个点。从而在每个点上，丛是平凡的，这个丛的非平凡性是两个点上向量空间的维数之差，所以

<math>\pi_0(KO) = \mathbf Z</math>是维数。

环路空间

利用博特周期性中环路空间具体的描述，我们可以将高维同伦群理解为容易分析的低维空间的同伦。利用<math>\pi_0</math>、O，以及O/U有两个分支，<math>KO = BO \times \mathbf Z</math>和<math>KSp = BSp \times \mathbf Z</math>有<math>\mathbf Z</math>个分支，其实是连通的。

同伦群的解释

一小部分结论：

• <math>\pi_0(KO) = \mathbf Z</math>是维数
• <math>\pi_1(KO) = \mathbf Z/2</math>是定向
• <math>\pi_2(KO) = \mathbf Z/2</math>是自旋
• <math>\pi_4(KO) = \mathbf Z</math>是拓扑量子场理论

令<math>F = \mathbf R, \mathbf C, \mathbf H, \mathbf O</math>，以及<math>L_F</math>为射影线<math>\mathbf{FP}^1</math>上的重复线丛，<math>[L_F]</math>是其K-理论。注意到<math>\mathbf{RP}^1 = S^1, \mathbf{CP}^1 = S^2, \mathbf{HP}^1 = S^4, \mathbf{OP}^1 = S^8</math>，这些得出相应球面上的向量丛，以及：

• <math>\pi_1(KO)</math>由<math>[L_{\mathbf R}]</math>生成
• <math>\pi_2(KO)</math>由<math>[L_{\mathbf C}]</math>生成
• <math>\pi_4(KO)</math>由<math>[L_{\mathbf H}]</math>生成
• <math>\pi_8(KO)</math>由<math>[L_{\mathbf O}]</math>生成

有限群上的正交群

正交群也能定义在有限域<math> \mathbf{F}_q</math>上，这里<math>q</math>是一个素数<math>p</math>的幂。在这样的域上定义正交群，偶数维时有两类：<math>O^+(2n, q) </math>和<math> O^-(2n, q) </math>；奇数维有一类：<math> O(2n+1, q) </math>。

如果<math> V</math>是正交群<math> G</math>作用的向量空间，它可以写成正交直和：

<math> V = L_1 \oplus L_2 \oplus \cdots \oplus L_m \oplus W </math>，

这里<math> L_i</math>是双曲线而<math> W</math>不包含奇异向量。如果<math> W = 0</math>，那么<math> G</math>是正类型；若<math> W = <w></math>那么<math> G</math>有偶维数；若<math> W</math>有维数2，则<math> G</math>是负类型。

在n = 1的特例，<math> O^\epsilon(2, q) </math>是阶为<math>2(q - \epsilon)</math>的二面体群。

当特征大于2时，记O(n,q) = { A ∈ GL(n,q) : A·A^t=I }。关于这些群的阶数我们有以下公式

<math>|O(2n+1,q)|=2q^n\prod_{i=0}^{n-1}(q^{2n}-q^{2i})</math>。

如果<math>-1</math>是<math>\mathbf{F}_q</math>中的平方元素

<math>|O(2n,q)|=2(q^n-1)\prod_{i=1}^{n-1}(q^{2n}-q^{2i})</math>。

如果<math>-1</math>不是<math>\mathbf{F}_q</math>中的平方元素

<math>|O(2n,q)|=2(q^n+(-1)^{n+1})\prod_{i=1}^{n-1}(q^{2n}-q^{2i})</math>。

迪克森不变量

对偶数维正交群，迪克森不变量是从正交群到Z/2Z的同态，是0或1取决于一个元素是偶数个还是奇数个反射的复合。在特征不等于2的域上迪克森不变量和行列式等价：行列式等于−1的迪克森不变量次幂。

在特征2的域上，行列式总为1，所以迪克森不变量给出了额外的信息。在特征2域上许多作者定义特殊正交群为迪克森不变量为0的元素，而不是行列式为1。

迪克森不变量也能对所有维数的克利福德群和Pin群类似地定义。

特征2域上正交群

特征2域上的正交群常常有不同的表现。这一节列出一些不同：

• 任何域上的任何正交群都是由反射生成，惟一的例外是两个元素的域上的维特指标为2的4维向量空间(Grove 2002，Theorem 6.6 and 14.16)。注意特征2域上的反射定义稍不同。特征2域，垂直于一个向量u的反射将v映为v+B(v,u)/Q(u)·u，这里B是一个双线性形式，Q是和正交矩阵相连的二次形式。而通常的豪斯霍尔德变换是将v映到v-2·B(v,u)/Q(u)·u，当奇特征和零特征时与比较两者不同。

• 特征2时正交群的中心总是1阶，而不是2阶。

• 在特征2的奇维数2n+1时，完全域上的正交群和2n维辛群相同。事实上特征2时的辛形式时可交换的，而维数为奇数故总有一个1维的核，模去核的商是一个2n维辛空间，正交群作用在它上面。

• 在特征2的偶维数，正交群是辛群的一个子群，因为此时二次型的辛双线性形式也是可交换的。

旋量模

旋量模是一个从域F上正交群到域F的乘法群模去平方元素

F^*/F^*2

的同态，将关于模长为n向量的反射映到F^*/F^*2中的n。

旋量模对实数域上的正交群是平凡的，但是其它域上常常不平凡，譬如实数域上不定二次型定义的正交群。

伽罗瓦上同调和正交群

代数群的伽罗瓦上同调理论，引入了一些更深入的观点。它们有解释的价值，特别是二次型理论的联系； 但就目前所发现的现象而言，大部分都是“马后炮”。第一个观点是一个域上的二次型或者一个正交群的扭曲形式（张量）可以与伽罗瓦H¹等同起来。作为一个代数群，正交群一般不是连通或单连通的；第二个观点是引入自旋现象，但前一个和判别式相联系。

一个旋量模的“spin”名字可以用与自旋群（更准确地pin群）的一个联系来解释。这种方法现在可以马上用伽罗瓦上同调（引入克利福德代数的术语）来解释。正交群的自旋群覆叠给出了一个代数群的短正合列：

<math> 1 \rightarrow \mu_2 \rightarrow Pin_V \rightarrow O_V \rightarrow 1 </math>

这里μ₂是单位根的代数群；在一个特征非2的域上，粗略地看，和作用平凡的两元素群相同。

从H⁰（就是取值于F中点的群O_V(F)）到H¹(μ₂)的连接同态本质上是spinor模，因为 H¹(μ₂)同构于域模去平方元素的乘法群。

正交群的H¹到自旋群覆叠的核的H²也存在连接同态。因上同调是非阿贝尔的，所以，至少用普通定义，这是我们能走得最远的。

重要子群

物理中，特别是在Kaluza-Klein紧化领域，找出正交群的子群非常重要。主要结论如下：

<math>

O(n) \supset O(n-1) </math>

<math>

O(2n) \supset SU(n) </math>

<math>

O(2n) \supset USp(n) </math>

<math>

O(7) \supset G_2 </math> 正交群O(n)也是一些李群的重要子群：

<math>

SU(n) \supset O(n) </math>

<math>

USp(2n) \supset O(n) </math>

<math>

G_2 \supset O(3) </math>

<math>

F_4 \supset O(9) </math>

<math>

E_6 \supset O(10) </math>

<math>

E_7 \supset O(12) </math>

<math>

E_8 \supset O(16) </math>

群O(10)在超弦理论中非常重要，因为它是10维时空的对称群。

另见

• 旋转群, SO(3,R)
• SO(8)
• 广义正交群
• 酉群
• 辛群
• 有限单群列表
• 单李群列表

参考文献

• Grove, Larry C., Classical groups and geometric algebra, Graduate Studies in Mathematics 39, Providence, R.I.: American Mathematical Society, 2002, ISBN 978-0-8218-2019-3, MR1859189 

外部链接

• John Baez "This Week's Finds in Mathematical Physics" week 105 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• John Baez on Octonions （页面存档备份，存于互联网档案馆）