模組:Complex Number/Functions/doc

本模組定義了一些可供Module:Complex_Number系列模組使用的擴充函數。

使用條件

要能使用此函數，必須先輸入一個數字類別資料結構以及其專用的math程式庫

• 數字類別資料結構必須包含下列成員函數：
  • clean() : 削去過小的小數，如5.0000000000000015會被削成5。
  • metatable必須實作下列函數

    加法、減法、乘法、除法、取餘數、相等判斷、轉字串、相反數（加法反元素）

• 專用的math程式庫必須包含下列成員：
  • 基本函數：

    abs（絕對值）、 sgn（符號函數）、 arg（輻角）、 conjugate（共軛）、 sqrt（平方根）、 dot（內積）

  • 高斯符號：

    floor（無條件捨去）、 ceil（無條件進位）、 round（四捨五入）

  • 除法相關：

    mod、 div（除法）、 inverse（乘法反元素）

  • 指對數相關：

    exp（自然指數）、 log（自然對數）、 pow（冪）

  • 特殊成員

    re（返回實部）、nonRealPart（返回不含實部的複數）、 tovector（返回複數的數組形式）

  • 三角函數

    sin、 cos、 tan、 cot、 cis、 asin、 acos、 atan、 acot

  • 雙曲函數

    sinh、 cosh、 tanh、 coth、 asinh、 acosh、 atanh、 acoth

  • 常數

    e、 pi（圓周率）、 nan（不是數字）

使用方法

1. 初始化任何符合此擴充函數庫使用條件的數學庫
   • local 自訂函數庫名稱 = require("Module:Complex Number").函數庫名稱.init()

     以Module:Complex Number的cmath為例：

     local cmath = require("Module:Complex Number").cmath.init()

2. 初始化本擴充函數庫
   • 自訂函數庫名稱 = require("Module:Complex Number/Functions")._init(自訂函數庫名稱, 函數庫對應的數字建構函式)

     以上述之Module:Complex Number的cmath為例：

     cmath = require("Module:Complex Number/Functions")._init(cmath, cmath.constructor)

3. 使用擴充函數庫中的函數

   例如：

   print(cmath.factorial(5), cmath.sec(cmath.pi/4))

   輸出：120 　 　1.4142135623731

模組中的函數

三角函數擴充

擴充了原本未定義的三角函數

如sec（正割）、 csc（餘割）、 sech（雙曲正割）、 csch（雙曲餘割）、 asec（反正割）、 acsc（反餘割）、asech（反雙曲正割）、 acsch（反雙曲餘割）、 gd（古德曼函數） 、 cogd（餘古德曼函數）、 arcgd（反古德曼函數）

功能

輸入一個複數x，回傳其指定三角函數的值

range(x,min,max)

功能

只取函數的某一段

若x位於min,max區間內，則回傳x，否則回傳NaN

統計函數

定義了一些統計函數

如minimum（最小值）、 maximum（最大值）、 average（平均值）、 geoaverage（幾何平均值）、 var（變異數）、 σ（標準差）

功能

輸入一系列數字，回傳其指定的統計值

diff(function, x₀)

功能

輸入一個函數，計算該函數在x=x₀的導數

實作方式

數值微分#高階方法

integral(a, b, function, step)

功能

輸入一個函數，計算從a到b的定積分，並以step為求黎曼和的間距

實作方式

en:Boole's_rule

limit(x₀, way, function)

功能

輸入一個函數，計算從way方向向x₀逼近的極限。

其中，way=1為右極限、way=-1為左極限、way=0為不分方向的極限，若左極不等於右極回傳NaN

條件式

常數條件輸入

if(條件, 為真時, 為假時)、ifelse(條件1, 條件1為真, 條件2, 條件2為真, ... ,皆為假)

代表條件在傳入函數時已經完成計算

函數條件輸入

iff(條件函數, 為真時, 為假時)、ifelsef(條件函數1, 條件1為真, 條件函數2, 條件2為真, ... ,皆為假)

代表條件在傳入函數時尚未計算，判斷的當下才計算。所傳入的函數需要是無參數函數，若有參數也只會被忽略。用於定義遞迴下的條件

factorial(x)

功能

輸入一個複數x，回傳其階乘值

即factorial(x)<math>=n!</math>

實作方式

參考#gamma(x)

binomial(n,k)

功能

計算二項式係數

也可以理解為從n個元素中取出k個元素的方法數

gcd(a,b,c,...)

功能

計算a,b,c,....等數字的最大公因數，支援複數。

實作方式

輾轉相除法

lcm(a,b,c,...)

功能

計算a,b,c,....等數字的最小公倍數，支援複數。

實作方式

最小公倍數#計算方法

gamma(x)

功能

輸入一個複數x，回傳其Γ函數值

File:Lua Gamma Function in Chinese Wiki.svg

伽瑪函數的實作方式

精確度

有效數字14位

運算效率

平均一次運算耗時約0.3582毫秒（3.6×10⁻⁴ s、一秒可計算2,700+次），測試於2018年11月19日 (一) 06:39 (UTC)、2022年4月12日 (二) 17:54 (UTC)。

實作方式

• 共分成4個部分
  • 中間藍色部分是利用從零展開倒數伽瑪函數的泰勒級數定義

    展開至前30項

    <math>\frac{1}{\Gamma(z)} = z + \gamma z^2 + \left(\frac{\gamma^2}{2} - \frac{\pi^2}{12}\right)z^3 + \cdots</math>

    <math>a_n = \frac{{a_2 a_{n-1} - \sum_{j=2}^{n-1} (-1)^j \, \zeta(j) \, a_{n-j}}}{n-1}</math>

  • 兩側橘紅色部分是利用中間藍色代Γ函數的遞迴關係式定義，並用For迴圈實作

    <math> \Gamma(x+1)=x\Gamma(x)</math>

    <math> \Gamma(x-1)=\frac{\Gamma(x)}{x-1}</math>

  • 上下的綠色部分則是使用Robert H. Windschitl (2002) 所提出的公式近似

    <math>\Gamma(z) \approx \sqrt{\frac{2 \pi}{z} } \left( \frac{z}{e} \sqrt{ z \sinh \frac{1}{z} + \frac{1}{810z^6} } \right)^{z}</math>

  • 最後黃色部分則是使用帶有斯特靈級數的斯特靈公式近似

    <math>

n!=\sqrt{2\pi n}\left({n\over e}\right)^n \left( 1 +{1\over12n} +{1\over288n^2} -{139\over51840n^3} -{571\over2488320n^4} + \cdots \right). </math>

• • 展開至前16項 （來源：（OEIS數列A001163）、（OEIS數列A001164））

  • 而背景透明標記 （灰白相間） 部分則為超出浮點數可儲存範圍，會溢位或出現inf或nan
  • 最左邊土黃色則是可能出現低於設計的精確度小數12位而回傳0