2i

File:Disambig gray.svg此條目的主題是一個虛數。關於2i的其他意義和用法，請見「2I」。

Template:高斯整數導航 <math>2i</math>是在虛軸正向距離原點兩個單位的純虛數，屬於高斯整數Template:R/superscript，為虛數單位（<math>i</math>）的兩倍Template:R/superscript，同時也是負四的平方根Template:R/superscriptTemplate:R/superscript，是方程式<math>x^2+4=0</math>的正虛根Template:R/superscript。日常生活中通常不會用<math>2i</math>來計量事物，例如無法具體地描述何謂<math>2i</math>個人，邏輯上<math>2i</math>個人並沒有意義。部分書籍或教科書偶爾會使用<math>2i</math>來做虛數的例子或題目。

在高斯平面上，與<math>2i</math>相鄰的高斯整數有<math>i</math>和<math>3i</math>（上下相鄰；純虛數）以及<math>2i-1</math>和<math>2i+1</math>（左右相鄰），然而複數不具備有序性，即無法判斷<math>2i</math>與<math>3i</math>間的大小關係，因此無法定義<math>i</math>與<math>3i</math>何者為<math>2i</math>的前一個虛數、何者為<math>2i</math>的下一個虛數。

−1+3i	3i	1+3i
−1+2i	2i	1+2i
−1+i	i	1+i
與<math>2i</math>相鄰的高斯整數示意圖

性質

• <math>2i</math>不屬於實數，是純虛數，同時也是複數，位於複數平面。Template:來源範圍，其也能表達為<math>2e^{i\pi/2}</math>Template:R/superscript或<math>2\left(\cos{\frac{\pi}{2}}+i\sin{\frac{\pi}{2}}\right)</math>。
• <math>2i</math>是高斯整數，Template:來源範圍，其中，1+i為2i的高斯質因數。Template:R/superscriptTemplate:R/superscript
• 所有的複數皆可以表達為<math>2i</math>之冪的線性組合。換句話說若進位制以<math>2i</math>為底數，則可獨一無二地表示全體複數。該進制稱為2i進制，由高德納於1955年發現。
• 複數的虛數部可以定義為複數與其共軛複數之差除以<math>2i</math>的商，換言之，則<math>z-z^*=2i\,Im(z)</math>。Template:R/superscript

  <math>Im(z)=\frac{z-z^*}{2i}</math>

• 正弦函數可以定義為純虛指數函數與其倒數之差除以<math>2i</math>的商。Template:R/superscriptTemplate:R/superscript

  <math>\sin(z)=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}</math>

• <math>2i</math>等於最小的質數和虛數單位的積，即<math>p_{_1}\times i = 2i</math>，其中<math>p_n</math>為第<math>n</math>個質數。
• 虛數單位和虛數單位的倒數相差<math>2i</math>。
• 任意數與<math>2i</math>相乘的意義為模放大兩倍並在複平面上以原點為中心逆時針旋轉90度。Template:R/superscriptTemplate:R/superscript

2i的冪

<math>2i</math>的前幾次冪為1、 2i、 −4、 −8i、 16、 32i、 −64...，其會在實部和虛部交錯變換，其單位會在1、i、−1、−i中變化。其中，實數項為−4的冪 ，虛數的正值項為16的冪的2倍 、虛數的負值項為16的冪的−8倍，因此這種特性使得<math>2i</math>作為底數可以不將複數表達為實部與虛部就能表示全體複數，並且有研究以此特性設計複數運算電路。

2i的平方根

<math>2i</math>的平方根正好是實數單位與虛數單位的和，即<math>\sqrt{2i}=1+i</math>Template:R/superscript，反過來說<math>2i</math>正好是實數單位與虛數單位相加的平方，<math>(1+i)^{2}=2i</math>Template:R/superscript。若考慮平方根的正負，則1+i和−1−i都是<math>2i</math>的平方根。

相關數字

−2i

<math>-2i</math>是<math>2i</math>的相反數，其平方根曾提議作為複數進位制的底數。<math>-2i</math>的絕對值為2而非2iTemplate:R/superscript。此外，<math>-2i</math>也是負四的平方根。

1+i

<math>1+i</math>是<math>2i</math>的平方根，同時也是高斯質數。由於其冪次為1+i、 2i、 −2+2i、 −4、 −4−4i、 −8i...，在正負、虛實交替變化，因此若作為進位制底數可以表達全體複數。但其組合變化相較於<math>-1+i</math>為底數的進位制，<math>-1+i</math>做為底數更為適合。Template:Invisible anchor

−1+i

File:ComplexTwindragon.svg

在−1+i進位制系統中整數部分全為零的複數

<math>-1+i</math>是<math>-2i</math>的平方根，也是高斯質數。其距離原點<math>\sqrt 2</math>單位，輻角為135度（<math>\frac{3\pi}4</math>弧度），實部為負一、虛部為1。由於其冪次為−1+i、 −2i、 2+2i、 −4、 4−4i、 8i...，在正負、虛實交替變化，因此可以構建以<math>-1+i</math>為底數並用1和0表達複數的進位制。其他複數雖然也可以，Template:Invisible anchor

除了<math>-1+i</math>外，其他<math>-n+i</math>形式的複數也能作為進位制底數，但其在表達數的範圍不同，以<math>-1+i</math>為例，其表達的範圍較為均勻，而<math>-2+i</math>、<math>-3+i</math>等則會越來越狹長。而底數<math>2+i</math>則需要非自然數的位數來表示。

−1+i進制與相關進制比較

十進制	二進制	2i進制	−1+i進制	−2+i進制
0
1
2
−1
−2
i	i
2i	i
3i	i
−i	−i
−2i	i
−3i	i
1+i	1+i
1−i	1−i
−1+i	−1+i
−1−i	−1−i
2+i	+i
2−i	−i
−2+i	+i
−2−i	−i

相鄰的高斯整數

−1+3i	3i	1+3i
−1+2i	2i	1+2i
−1+i	i	1+i
與<math>2i</math>相鄰的高斯整數示意圖

3i

File:Disambig gray.svg「3i」重新導向至此。關於與本條目同名之其他主題，請見「Template:Format link」。

<math>3i</math>是在虛軸正向距離原點3個單位的純虛數，是虛數單位的三倍，同時也是負九（−9）的平方根，與純虛數2i和4i相鄰、並與高斯整數−1+3i和1+3i相鄰。

<math>3i</math>的為虛數單位與質數3的乘積，其中，3也是高斯質數，因此<math>3i</math>的高斯整數分解為<math> </math>。

−1+2i

<math>-1+2i</math>是在虛軸正向距離原點<math>\sqrt{5}</math>個單位的高斯整數，其實部為負一、虛部為2i，與純虛數2i相鄰、並與高斯整數−1+3i、−1+i和−2+2i相鄰。<math>-1+2i</math>是高斯質數。

1+2i

<math>1+2i</math>是高斯質數 ，在虛軸正向距離原點<math>\sqrt{5}</math>個單位，其實部為一、虛部為2i，為方程式<math> x ^ 2 - 2x + 5 = 0</math>的其中一根，與純虛數2i相鄰、並與高斯整數1+3i、1+i和3+2i相鄰。

參見

• 虛數單位
• -2