虛數單位

虛數單位<math>i</math>在複平面的位置。橫軸是實數，豎軸是虛數

各式各樣的數

基本

<math>\mathbb{N}\subseteq\mathbb{Z}\subseteq\mathbb{Q}\subseteq\mathbb{R}\subseteq\mathbb{C}</math> File:NumberSetinC.svg

正數 <math>\mathbb{R}^+</math>
自然數 <math>\mathbb{N}</math>
正整數 <math>\mathbb{Z}^+</math>
小數
 有盡小数
 無盡小数
 循環小數
 有理數 <math>\mathbb{Q}</math>
代數數 <math>\mathbb{A}</math>
實數 <math>\mathbb{R}</math>
複數 <math>\mathbb{C}</math>
高斯整數 <math>\mathbb{Z}[i]</math>

負數 <math>\mathbb{R}^-</math>
整數 <math>\mathbb{Z}</math>
負整數 <math>\mathbb{Z}^-</math>
分數
 單位分數
 二進分數
 規矩數
 無理數
 超越數
 虛數 <math>\mathbb{I}</math>
二次無理數
 艾森斯坦整數 <math>\mathbb{Z}[\omega]</math>

延伸

二元數
 四元數 <math>\mathbb{H}</math>
八元數 <math>\mathbb{O}</math>
十六元數 <math>\mathbb{S}</math>
超實數 <math>^*\mathbb{R}</math>
大實數
 上超實數

雙曲複數
 雙複數
 複四元數
共四元數（英語：Dual quaternion）
超複數
 超數
 超現實數

其他

質數 <math>\mathbb{P}</math>
可計算數
 基數
 阿列夫數
 同餘
 整數數列
 公稱值

規矩數
 可定義數
 序數
 超限數
 $p$ 進數
 數學常數

圓周率 <math>\pi = 3.14159265 </math>…
自然對數的底 <math>e = 2.718281828 </math>…
虛數單位 <math>i = \sqrt{ -{ 1} } </math>
無限大 <math>\infty</math>

在數學、物理及工程學裏，虛數單位是指二次方程<math>x^2 + 1 = 0</math>的解。雖然沒有這樣的實數可以滿足這個二次方程，但可以通過虛數單位將實數系統<math>\mathbb{R}</math>延伸至複數系統<math>\mathbb{C}</math>。延伸的主要動機為有很多實係數多項式方程式無實數解。例如剛才提到的方程式<math>x^2 + 1 = 0</math>就無實數解。可是倘若我們允許解答為虛數，那麼這方程式以及所有的多項式方程式都有解。虛數單位通常標記為<math>i</math>，但在涉及電氣、電機工程等電學相關領域時，則往往標記為<math>j</math>，這是為了避免與電流（記為<math>i(t)</math>或<math>i</math>）相混淆。

定義[編輯]

<math>\ldots</math>
<math>{ {i}^{-{ 3}} } = i </math>
<math>{ {i}^{-{ 2}} } = -1 </math>
<math>{ {i}^{-{ 1}} } = -i </math>
<math>{ {i}^{0} } = 1 </math>
<math>{ {i}^{1} } = i </math>
<math>{ {i}^{2} } = -1 </math>
<math>{ {i}^{3} } = -i </math>
<math>{ {i}^{4} } = 1 </math>
<math>{ {i}^{5} } = i </math>
<math>{ {i}^{6} } = -1 </math>
<math>\ldots</math>

虛數單位<math>i</math>定義為二次方程式<math>x^2 + 1 = 0</math>的兩個根中的一個。這方程式又可等價表達為：

<math>{ {x}^{2} } = -1 </math>。

由於實數的平方絕不可能是負數，我們假設有這麼一個數目解答，給它設定一個符號<math>i</math>。很重要的一點是，<math> i </math>是一個良定義的數學構造。

另外，虛數單位同樣可以表示為：

然而<math>i = \sqrt{ -{ 1} } </math>往往被誤認為是錯的，他們的證明的方法是：

因為<math>-1 = i\cdot i=\left(\sqrt{-1}\right)\times\left(\sqrt{-1}\right)=\sqrt{\left(-1\right)\times\left(-1\right)}=\sqrt{1}=1</math>，但是-1不等於1。

但請注意：<math>\sqrt{a \cdot b}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}</math>成立的條件有<math>a</math>,<math>b</math>不能為負數。

實數運算可以延伸至虛數與複數。當計算一個表達式時，我們只需要假設<math>i</math>是一個未知數，然後依照<math>i</math>的定義，替代任何<math>i^2</math>的出現為-1。<math>i</math>的更高整數冪數也可以替代為<math>-i</math>，<math>1</math>，或<math>i</math>，根據下述方程式：

<math>i^3 = i^2 i = (-1) i = -i</math>，

<math>i^4 = i^3 i = (-i) i = -(i^2) = -(-1) = 1</math>，

<math>i^5 = i^4 i = (1) i = i</math>。

一般地，有以下的公式：

其中<math>\bmod 4</math>表示被4除的餘數。

補充定義[編輯]

虛數單位 <math>i</math> 是複數域 <math>\mathbb{C}</math> 中的一個基本元素，其核心性質由以下等價方式之一定義：

代數定義[編輯]

作為二次方程 <math>x^2 + 1 = 0</math> 的一個解。即，<math>i</math> 是滿足方程

的數。由於該方程在實數域 <math>\mathbb{R}</math> 內無解，引入 <math>i</math> 是構造更廣的數系——複數體的關鍵步驟。

作為有序對[編輯]

在複數嚴格的公理化構造中，複數定義為有序對 <math>(a, b)</math>，其中 <math>a, b \in \mathbb{R}</math>。在此框架下，虛數單位 <math>i</math> 被定義為有序對

<math>i := (0, 1)</math>。

而複數的乘法規則定義為 <math>(a, b) \cdot (c, d) = (ac - bd, ad + bc)</math>。由此可驗證：

<math>i^2 = (0, 1) \cdot (0, 1) = (0\cdot0 - 1\cdot1, 0\cdot1 + 1\cdot0) = (-1, 0) = -1</math>。

這一定義完全繞開了「負數的平方根」這一初始概念，從而在邏輯上更為基礎。

$i$ 和 $- i$ [編輯]

方程<math>x^2 = -1</math>有兩個不同的解，它們都是有效的，且互為共軛虛數及倒數。更加確切地，一旦固定了方程的一個解<math>i</math>，那麼<math>-i</math>（不等於<math>i</math>）也是一個解，由於這個方程是<math>i</math>的唯一的定義，因此這個定義表面上有歧義。然而，只要把其中一個解選定，並固定為<math>i</math>，那麼實際上是沒有歧義的。這是因為，雖然<math>-i</math>和<math>i</math>在數量上不是相等的（它們是一對共軛虛數），但是<math>i</math>和<math>-i</math>之間沒有質量上的區別（-1和+1就不是這樣的）。在任何的等式中同時將所有i替換為-i，該等式仍成立。

正當的使用[編輯]

虛數單位有時記為<math>\sqrt{-1}</math>。但是，使用這種記法時需要非常謹慎，這是因為有些在實數範圍內成立的公式在複數範圍內並不成立。例如，公式<math>\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}</math>僅對於非負的實數<math>a</math>和<math>b</math>才成立。

假若這個關係在虛數仍成立，則會出現以下情況：

<math>-1 = i \cdot i = \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} = \sqrt{(-1) \cdot (-1)} = \sqrt{1} = 1</math>（不正確）

<math>-1 = i \cdot i = \pm \sqrt{-1} \cdot \pm \sqrt{-1} = \pm \sqrt{(-1) \cdot (-1)} = \pm \sqrt{1} = \pm 1</math>（不正確）

<math>\frac{1}{i} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{-1}} = \sqrt{\frac{1}{-1}} = \sqrt{-1} = i</math>（不正確）

與主平方根的關係[編輯]

在複數體中，「平方根」是一個多值函數。對於非負實數 <math>a</math>，符號 <math>\sqrt{a}</math> 通常指其唯一的非負實平方根（稱為**主平方根**或**主平方根**）。然而，對於負數或一般的複數，符號 <math>\sqrt{z}</math> 必須明確其分支的選擇。通常，複數的**主平方根**函數定義為其輻角落在區間 <math>(-\pi, \pi]</math> 內的那個根。在這種約定下，<math>\sqrt{-1}</math> 的主值是 <math>i</math>（而非 <math>-i</math>）。即便如此，涉及多個複數的主平方根的恆等式也普遍不成立。因此，在處理複數時，最安全且清晰的做法是直接使用符號 <math>i</math> 及其基本性質 <math>i^2 = -1</math> 進行計算，避免對負數直接應用根號運算法則。

i的運算[編輯]

File:Imaginary2Root.svg

虛數單位<math>i</math>的平方根在複平面的位置

利用複數的運算規則和歐拉公式，可以對虛數單位 <math>i</math> 進行各種數學運算，包括平方根、冪、對數和三角函數。以下運算除特殊說明外，均為與 <math>i</math> 有關的多值函數，在實際應用時必須指明函數的定義選擇在黎曼面的哪一支。下面列出的僅僅是最常採用的黎曼面分支的計算結果。

基本運算與冪循環[編輯]

虛數單位 <math>i</math> 的整數冪遵循一個週期為4的循環：

<math>\begin{align}

i^1 &= i, \\ i^2 &= -1, \\ i^3 &= -i, \\ i^4 &= 1, \end{align}</math> 一般地，對任意整數 <math>n</math>，有：

其中 <math>\bmod 4</math> 表示被4除的餘數。

平方根[編輯]

<math>i</math> 的平方根為：

<math>\sqrt{i} = \pm \left( \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} i \right) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}(1 + i)</math>

使用主平方根符號表示其主值：

其解法為先假設兩實數 <math>x</math> 及 <math>y</math>，使得 <math>(x + iy)^2 = i</math>，然後求解 <math>x, y</math>。^[1]

一般冪運算[編輯]

利用歐拉公式 <math>e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta</math>，可以將虛數單位表示為指數形式：

<math>i = e^{i\left(\frac{\pi}{2} + 2k\pi\right)}</math>，其中 <math>k \in \mathbb{Z}</math> 為任意整數。

由此可推導出更一般的冪運算公式。設 <math>a, b, c \in \mathbb{R}</math>，且 <math>a > 0</math>，則有：

以 <math>i</math> 為指數的冪（實數的虛數次冪）：

這是一個模為1的複數，其幾何意義是在複數平面上將點1旋轉 <math>\ln a</math> 弧度。

以虛數為指數的冪（實數底數的純虛數次冪）：

複數的複數次冪（最一般的情況）：

<math>a^{b + c i} = a^{b} \cdot a^{c i} = a^{b} \left[ \cos(c \ln a) + i \sin(c \ln a) \right]</math>

此公式清晰地分離了結果在複數平面上的**伸縮因子** <math>a^b</math> 和**旋轉因子** <math>a^{c i}</math>。

最為人熟知的特例：<math>i</math> 的 <math>i</math> 次冪

<math>i^i = \left[ e^{i (\frac{\pi}{2} + 2k \pi)} \right]^i = e^{i^2 (\frac{\pi}{2} + 2k \pi)} = e^{-(\frac{\pi}{2} + 2k \pi)}</math>，<math>k \in \mathbb{Z}</math>

代入不同的 <math>k</math> 值，可計算出無限多的解。當 <math>k = 0</math> 時，得到其主值 <math>e^{-\frac{\pi}{2}} \approx</math> 0.207879576...^[2]

對數[編輯]

以 <math>i</math> 為底的對數：

對於正實數 <math>x > 0</math>，有：

<math>\log_i x = {{2 \ln x} \over i\pi} = -i \cdot \frac{2 \ln x}{\pi}</math>（取主值）

更一般地，對於正實數 <math>a > 0</math> 且 <math>a \neq 1</math>，以 <math>i</math> 為底的對數可由換底公式導出：

<math>\log_i a = \frac{\ln a}{\ln i} = \frac{\ln a}{i\left(\frac{\pi}{2} + 2k\pi\right)} = -i \cdot \frac{2 \ln a}{(4k+1)\pi}</math>， <math>k \in \mathbb{Z}</math>。

這是一個純虛數，且由於 <math>\ln i</math> 的多值性，其結果也有無窮多個值。

三角與雙曲函數[編輯]

以下恆等式揭示了虛數單位如何聯繫三角函數與雙曲函數，這是歐拉公式的直接推論。對於實數 <math>x</math>：

<math>\begin{align}

\cos(i x) &= \cosh x \\ \sin(i x) &= i \sinh x \\ \tan(i x) &= i \tanh x \end{align}</math> 這些公式表明，對虛自變量的三角函數求值，會轉化為實自變量的雙曲函數。

作為直接應用，可以計算：

<math>\cos i = \cosh 1 = {{e + \frac{1}{e}} \over 2} = {{e^2 + 1} \over 2e} \approx 1.54308064...</math>

<math>\sin i = i\sinh 1 = {{e - \frac{1}{e}} \over 2} i = {{e^2 - 1} \over 2e} i \approx (1.17520119...) i</math>

在程式語言

大部分的程式語言都不提供虛數單位，且平方根函數(大多為sqrt()或Math.Sqrt())的引數不可以是負數，因此，必須自行建立類別後方可使用。
但Lisp的許多實現與方言，如Common Lisp，內建虛數和複數的支持。不少動態語言受其影響，也在語言本身或標準庫中支持虛數和複數，如Python、Ruby。
一些傳統編程語言，如C語言，也從C99開始支持虛數和複數。
在Matlab，虛數單位的表示方法為i或j，但i和j在for迴圈可以有其他用途。
在Mathematica，虛數單位的表示方法為I、𝕚或𝕛。
在Maple，必須啟用虛數功能，並選擇用i還是j表示虛數單位。
Go語言於第 1.0 版就內建虛數和複數的支持，變數類型為 complex64和complex128^[3]。

代碼示例

以下是一些編程語言中定義虛數單位 <math>i</math> 及進行基本複數運算的方法：

編程語言示例代碼 (定義虛數單位與基礎運算) 備註與輸出示例

Python

# 虚数单位用后缀 j 表示
i = 1j
print(f"虚数单位 i = {i}")
print(f"i 的平方 i² = {i ** 2}")
# 输出：虚数单位 i = 1j
# 输出：i 的平方 i² = (-1+0j)

# 复数构造与运算
z1 = 3 + 4j    # 复数字面量
z2 = complex(1, -2)  # complex(实部, 虚部) 函数
print(f"复数 z1 = {z1}")
print(f"复数 z2 = {z2}")
print(f"z1 + z2 = {z1 + z2}")  # 加法：(4+2j)
print(f"z1 * z2 = {z1 * z2}")  # 乘法：(11-2j)

# 使用 cmath 模块进行更多运算
import cmath
print(f"e^(i*π) = {cmath.exp(1j * cmath.pi)}")  # 欧拉公式，近似 (-1+1.2246467991473532e-16j)

* Python 原生支持複數類型，屬於 complex 類。

虛部使用後綴 j 或 J 表示。
可用 real 和 imag 屬性獲取實部與虛部。
cmath 模塊提供複變函數。

C語言 (C99標準)

#include <complex.h>
#include <stdio.h>

int main(void) {
    // 宏 I 表示虚数单位 i
    double complex i = I;
    double complex z1 = 3.0 + 4.0 * I;
    double complex z2 = 1.0 - 2.0 * I;

    // 基本运算
    double complex i_squared = i * i;
    double complex sum = z1 + z2;
    double complex product = z1 * z2;

    // 输出结果，creal()和cimag()分别提取实部和虚部
    printf("i² = %.2f %+.2fi\n", creal(i_squared), cimag(i_squared));
    // 输出：i² = -1.00 +0.00i
    printf("z1 + z2 = %.2f %+.2fi\n", creal(sum), cimag(sum));
    // 输出：z1 + z2 = 4.00 +2.00i
    printf("z1 * z2 = %.2f %+.2fi\n", creal(product), cimag(product));
    // 输出：z1 * z2 = 11.00 -2.00i

    return 0;
}

* 需包含 <complex.h> 頭文件，並使用標準宏 I 表示虛數單位。

複數類型為 double complex、float complex 等。
運算符號（+, *, -）與普通算術一致。
使用 creal() 和 cimag() 函數提取複數的實部與虛部。
編譯時需支持C99標準（如使用 gcc -std=c99）。

註解

↑ University of Toronto Mathematics Network: What is the square root of i? （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館） URL retrieved March 26, 2007.
↑ "The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers" by David Wells, Page 26.
↑ Rob Pike. Constants. The Go Blog. 2014-08-25 [2022-05-27]. （原始內容存檔於2022-06-28）.

參見

參考文獻

Paul J. Nahin, An Imaginary Tale, The Story of √-1, Princeton University Press, 1998

}}

外部連結[編輯]

[1] University of Toronto Mathematics Network: What is the square root of i? （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館） URL retrieved March 26, 2007.

[2] "The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers" by David Wells, Page 26.

[3] Rob Pike. Constants. The Go Blog. 2014-08-25 [2022-05-27]. （原始內容存檔於2022-06-28）.

[1]

[2]

[3]

高斯整數導航
			↑
			$2 i$
		$-1+ i$	$i$	$1+ i$
←	−2	−1	0	1	2	→
		$-1- i$	$- i$	$1- i$
			$-2 i$
			↓

虛數單位

目次

定義[編輯]

補充定義[編輯]

代數定義[編輯]

作為有序對[編輯]

$i$ 和 $- i$ [編輯]

正當的使用[編輯]

與主平方根的關係[編輯]

i的運算[編輯]

基本運算與冪循環[編輯]

平方根[編輯]

一般冪運算[編輯]

對數[編輯]

三角與雙曲函數[編輯]

在程式語言

代碼示例

註解

參見

參考文獻

外部連結[編輯]

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定義[編輯]

補充定義[編輯]

代數定義[編輯]

作為有序對[編輯]

i和-i[編輯]

正當的使用[編輯]

與主平方根的關係[編輯]

i的運算[編輯]

基本運算與冪循環[編輯]

平方根[編輯]

一般冪運算[編輯]

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三角與雙曲函數[編輯]

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