導來集

在數學，特別是點集拓撲學中，拓撲空間的子集<math>S</math>的導來集（導出集合）是<math>S</math>的所有極限點的集合。它通常記為 <math>S'</math>。

這個概念是格奧爾格·康托爾在1872年引入的，他開發集合論很大程度上就是為了研究在實直線上的導出集合。

導來集公理

導來集是拓撲學的基礎概念之一，可以用來定義拓撲空間。 給定集合<math>X</math>，考慮一個定義在<math>X</math>的冪集<math>\mathcal{P}(X)</math>上的運算<math>d: \mathcal{P}(X) \to \mathcal{P}(X)</math>，若<math>d</math>滿足以下導來集公理，則稱<math>d</math>為導集運算：

• D₁：<math>d(\empty) = \empty</math>
• D₂：<math>d(d(A)) \subseteq d(A) \cup A</math>
• D₃：<math>\forall x \in X,\ d(A) = d(A - \{x\})</math>
• D₄：<math>d(A\cup B) = d(A)\cup d(B)</math>

<math>d(A)</math>稱為<math>A</math>的導來集。

從導來集出發可以定義各種拓撲的基礎概念：

• 閉集：<math>X</math>的子集<math>A</math>是閉集，當且僅當<math>d(A) \subseteq A</math>。（從此處可以看到和閉集公理的等價性，從而可以等價地定義拓撲空間。）
• 同胚：拓撲空間<math>T_1(X_1,\tau_1)</math>、<math>T_1(X_2,\tau_2)</math>同胚，當且僅當存在對射<math>f: \mathcal{P}(X_1) \to \mathcal{P}(X_2)</math>，使得<math>\forall A \subseteq X_1,\ f(d(A)) = d(f(A))</math>。

相關概念

聚點

<math>d(A)</math>中的點稱為<math>A</math>的聚點。

性質

• <math>S,T\subseteq X</math>，若<math>S\cap T=\empty</math>，<math>S\cap d(T)=\empty</math>，<math>d(S)\cap T=\empty</math>。則稱<math>S</math>和<math>T</math>是分離的。（注意：<math>d(S)\cap d(T)</math>不一定為<math>\empty</math>）。
• 集合<math>S</math>被定義為完美的，如果<math>S=d(S)</math>。等價地說，完美集合是沒有孤點的閉集。完美集合又稱為完備集合。
• Cantor-Bendixson定理聲稱任何波蘭空間都可以寫為可數集合和完美集合的併集。因為任何波蘭空間的<math>G_\delta</math>子集都再次是波蘭空間，這個定理還證明了任何波蘭空間的<math>G_\delta</math>子集都是可數集合和完美集合的併集。
• 拓撲空間<math>X</math>是T₁ 空間，當且僅當<math>\forall x\in X,\ d(\{x\}) = \empty</math>。

引用

• Kechris, A. Classical Descriptive Set Theory Graduate Texts in Mathematics 156. Springer. 1995. ISBN 0-387-94374-9 ISBN 3-540-94374-9 （English）. 
• Sierpiński, Wacław F.; translated by Krieger, C. Cecilia (1952). General Topology. University of Toronto Press.

參見

• 極限點
• 導來代數