谱序列

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在同调代数中，谱序列是一种借着逐步逼近以计算同调或上同调群的技术，由让·勒雷在1946年首创。其应用见诸代数拓扑、群上同调与同伦理论。

动机[编辑]

让·勒雷当初为了研究代数拓扑学，而引入层的概念，从而面临计算层上同调的问题。为此，勒雷发明了现称勒雷谱序列的计算方法，它联系了一个层的上同调群与其正像的上同调群。

人们很快就发现：勒雷谱序列只是一个特例。谱序列还现身于纤维化等几何问题；更抽象地说，对合成函子取导函子也会得到谱序列，称为格罗滕迪克谱序列。虽然导范畴在理论层面提供了较简炼的框架，谱序列仍是最有效的计算工具。

由于谱序列包含大量的项，实际计算时往往会陷入带（至少）三重指标的群或模的迷阵。在许多实际状况中，谱序列最后会“塌陷”，此时谱序列可以给出明确的资讯。若谱序列不塌陷，则须靠一些窍门取得有用的资讯。

形式定义[编辑]

以下固定一个阿贝尔范畴 <math>\mathcal{A}</math>，常见例子是一个环上的模范畴。谱序列是一个非负整数 <math>r_0</math> 及下述资料：

  • 对所有整数 <math>r \geq r_0</math>，有范畴中的一个对象 <math>E_r</math>。
  • 自同态 <math>d_r: E_r \to E_r</math>，满足 <math>d_r^2 = 0</math>，称为边界映射或微分。
  • 从 <math>E_{r+1}</math> 到 <math>H(E_r, d_r)</math> 的同构。

通常省去 <math>E_{r+1}</math> 与 <math>H(E_r, d_r)</math> 的同构，而写成等式。

最基本的例子是链复形 <math>C_\bullet</math>，它带有一个微分 <math>d</math>。取 <math>r_0=0</math>，并令 <math>E_0 = C_\bullet</math>，于是必有 <math>E_1 = H(C_\bullet)</math>；这个新链复形上的微分只有一个自然的选择，就是零映射。于是有 <math>E_1 = E_2 = \cdots</math>。综之，我们得到一个链复形范畴上的谱序列：

  • <math>E_0 = C_\bullet</math>
  • <math>E_r = H(C_\bullet) \; (r \geq 1)</math>

由于只有 <math>r=0</math> 时微分映射才可能非零，此序列在第一步后就不含任何新资讯。

较常见的是双分次模（或层）范畴上的谱序列，表作 <math>E_r^{p,q}</math>，此时的微分映射次数与 <math>r</math> 有关：对于上同调谱序列，<math>d_r: E_r \to E_r</math> 的次数是 <math>(r, -r+1)</math>。对于同调谱序列，通常将各项写成 <math>E_r</math>，微分映射 <math>d^r: E_r \to E_r</math> 的次数是 <math>(-r,r-1)</math>。

谱序列之间的态射 <math>f: E \to E'</math> 定义为一族态射 <math>f_r: E_r \to E_r'</math>，使之与同构 <math>E_{r+1} \simeq H(E_r, d_r)</math> 交换。谱序列对此构成了一个阿贝尔范畴。

正合偶[编辑]

交换代数中大部分的谱序列来自链复形，而已知构造谱序列最有力的方法是 William Massey 的正合偶。正合偶在代数拓扑学中很常见，此时对于许多谱序列，正合偶是唯一已知的构造法。事实上，正合偶可以用来构造所有已知的谱序列。

同样固定一个阿贝尔范畴（通常取一个环上的双分次模）<math>\mathcal{A}</math>，一个正合偶是：

File:Exact couple.png
  • 一对对象 <math>A, C</math>
  • 三个态射：
    • <math>f: A \to A</math>
    • <math>g: A \to C</math>
    • <math>h: C \to A</math>

使之满足下述正合条件：

  • Image f = Kernel g
  • Image g = Kernel h
  • Image h = Kernel f

将这组资料简记为 <math>(A,C,f,g,h)</math>。正合偶通常以三角形表示。<math>C</math> 对应到谱序列的 <math>E_0</math> 项，而 <math>A</math> 是一些辅助资料。

为了得到谱序列的后续项，以下将构造导出偶。令：

  • <math>d := g \circ h</math>
  • <math>A' := f(A)</math>
  • <math>C' := \mathrm{Ker}(d) /\mathrm{Im}(d)</math>
  • <math>f' := f|_{A'}</math>
  • <math>h': C' \to A'</math> 由 <math>h</math> 导出。
  • <math>g' : A' \to C'</math> 定义如下：若 <math>\mathcal{A}</math> 为某个环上的模范畴，对任一 <math>a \in A'</math>，存在 <math>b \in A'</math> 使得 <math>a = f(b)</math>，定义 <math>g'(a)</math> 为 <math>g(b)</math> 在 <math>C'</math> 中的像。一般而言，可利用 Mitchell 嵌入定理构造态射 <math>g'</math>。

现在可以验证 <math>(A', C', f', g', h')</math> 构成正合偶。<math>C'</math> 对应到谱序列的 <math>E_1</math> 项。续行此法，可以得到一族正合偶 <math>(A^{(n)}, C^{(n)}, f^{(n)}, g^{(n)}, h^{(n)})</math>。相应的谱序列定义为 <math>E_n := C^{(n)}</math>，<math>d_n := g^{(n)} \circ h^{(n)}</math>。

图解[编辑]

File:SpectralSequence.png
谱序列的 E2 项

一个双分次谱序列含有大量要追踪的资讯，不过有个常见的图解法有助于阐明其结构。以下取上同调谱序列为例。在此有三个指标 <math>r, p, q</math>。对每个 <math>r</math>，设想有一张方格纸，分别让 <math>p, q</math> 对应于横、纵轴。每一个格子点 <math>(p,q)</math> 对应到对象 <math>E_r^{p,q}</math>。微分 <math>d_r</math> 的次数为 <math>(r,-r+1)</math>，方向如图所示。

收敛与退化[编辑]

在第一个简单的例子中，谱序列在 <math>r \geq 1</math> 后的微分映射皆为零，故不再改变。这时可定义该谱序列的极限为 <math>E_\infty := E_r \; (r \geq 1)</math>。对于一般的谱序列，也往往存在一个极限，极限与各项的关系可说是谱序列的众妙之门。

定义：若谱序列 <math>E_r^{p,q}</math> 对每个 <math>(p,q)</math> 都存在 <math>r(p,q) \in \N</math>，使得当 <math>r \geq r(p,q)</math> 时，<math>d_r^{p-r,q+r-1}: E_r^{p-r,q+r-1} \to E_r^{p,q}</math> 及 <math>d_r^{p,q}: E_r^{p,q} \to E_r^{p+r,q-r+1}</math> 皆为零，则称 <math>E_r^{p,q}</math> 之极限项为 <math>E_\infty^{p,q} := E_r^{p,q}</math>（取充分大的 <math>r</math>）。最常见的例子是集中在第一象限的谱序列，此时极限项恒存在。

其中的指标 <math>p</math> 指涉过滤结构。

若存在对象 <math>E^\bullet</math>、过滤结构 <math>\cdots \subset F^{p+1}E^\bullet \subset F^{p} E^\bullet \subset \cdots</math>，及一族同构 <math>\beta^{p,q}: E_\infty^{p,q} \simeq \mathrm{gr}^p E^{p+q}</math>，满足 <math>\bigcap_p F^p E^\bullet = (0), \bigcup_p F^p E^\bullet = E^\bullet</math>（这种过滤称为“正则过滤”），则称 <math>E_r^{p,q}</math> 收敛到 <math>E^\bullet</math>，通常表为下述符号：

<math>E_r^{p,q} \Rightarrow_p E_\infty^{p,q}</math>

习惯上，人们也常将左式写成 <math>E_2^{p,q}</math>，因为谱序列中最重要的页往往是 <math>E_2^{p,q}</math>。

最简单的收敛特例是退化：

定义：固定 <math>r \in \N</math>，若对每个 <math>s \geq r</math>，微分映射 <math>d_s</math> 都是零，则称该谱序列在第 <math>r</math> 页退化。

退化性保证了 <math>E_r \simeq E_{r+1} \simeq \cdots</math>，此时 <math>E_r</math> 即其极限。如果一个双分次谱序列 <math>E_r^{p,q}</math> 的非零项集中于某一条水平或垂直线上，则必在 <math>r=2</math> 时退化。

例子[编辑]

过滤结构导出的谱序列[编辑]

最常见的谱序列之一来自带有过滤结构的对象，通常是链复形或上链复形。这是一个对象 <math>C</math> 及微分映射 <math>d: C \to C</math> ，使之满足 <math>d^2=0</math>，以及

<math> C = F^0 C \supset F^1 C \supset \cdots F^n C \supset F^{n+1}C = 0</math>
<math> d F^p C \subset F^p C</math>

同调群上也有相应的过滤

<math>F^p H(C,d) := \mathrm{Im}(H(F^p C, d) \to H(C,d)</math>

对此，定义相应的分次对象

<math> \mathrm{gr}_F C := \bigoplus_{p \geq 0} F^p C / F^{p+1} C</math>
<math> \mathrm{gr}_F H(C) := \bigoplus_{p \geq 0} F^p H(C) / F^{p+1} H(C))</math>

取微分映射为零，可视之为复形。

以下式定义谱序列：

<math>Z_r^p := {x \in F^p C : dx \in F^{p+r} C}</math>
<math>E_r^p := Z_r^p / (d Z_{r-1}^{p-r+1} + Z_{r-1}^{p+1}) = Z_r^p / (Z_r^p \cap (dF^{p-r+1}C + F^{p+1}C))</math>

此时有 <math>E_0^p = F^p C / F^{p+1} C, E_1^p = H(\mathrm{gr}^p C)</math>，且谱序列收敛：

<math>E_r^p \Rightarrow E_\infty^p = \mathrm{gr}^p H(C)</math>

通常也写成 <math>E_r \Rightarrow H(C)</math>。

取 <math>\mathcal{A}</math> 为取值在某个阿贝尔范畴中的上链复形范畴。此时的对象 <math>C</math> 是个上链复形 <math>\cdots \to C^q \to C^{q+1} \to \cdots</math>，<math>d</math> 是上链复形的微分映射。上述谱序列带有三个指标 <math>p,q,r</math>，并可进一步化成下述形式：

<math>E_0^{p,q} = F^p C^{p+q}/F^{p+1} C^{p+q}</math>
<math>E_1^{p,q} = H^{p+q}(\mathrm{gr}^p C^\bullet)</math>
<math>E_\infty^{p,q} = \mathrm{gr}^p(H^{p+q}(C^\bullet))</math>

双复形的谱序列[编辑]

以下考虑取值在某个阿贝尔范畴中的双复形，即一组对象 <math>C^{p,q}</math>，及两组微分映射 <math>d': C^{p,q} \to C^{p+1,q}</math> 及 <math>d: C^{p,q} \to C^{p,q+1}</math>，满足

<math>d'^2 = d^2 = 0</math>
<math>d' d + d d' = 0</math>

对一个双复形，可定义其全复形 <math>(C, D)</math>（也记为 <math>T(C)</math> 或 <math>\mathrm{Tot}(C)</math>） 为

<math>C^n := \bigoplus_{p+q=n} C^{p,q}</math>
<math>D := d' + d</math>

<math>C</math> 上有两组过滤，分别是：

<math>('F^p C)^n := \bigoplus_{i+j=n,\, i \geq p} C^{i,j}</math>
<math>(F^q C)^n := \bigoplus_{i+j=n,\, j \geq q} C^{i,j}</math>

它们给出两个谱序列 <math>'E_r</math> 与 <math>E_r</math>。首先计算 <math>'E_0, 'E_1, 'E_2</math> 项：

<math>'E_0^{i,j} = C^{i,j}</math>
<math>'E_1^{i,j} = H_{d}^j(C^{i,\bullet})</math>
<math>'E_2^{i,j} = H_{d'}^i(H_{d}^j(C^{\bullet,\bullet})) \qquad</math>（即：先取纵向上同调，再取横向上同调）

同理可计算 <math>E_0, E_1, E_2</math>：

<math>E_0^{i,j} = C^{j,i}</math>
<math>E_1^{i,j} = H_{d'}^j(C^{\bullet, i})</math>
<math>E_2^{i,j} = H_{d}^i(H_{d'}^j(C^{\bullet,\bullet})) \qquad</math>（即：先取横向上同调，再取纵向上同调）。

这两个谱序列通常是不同的，但随着 <math>r</math> 增大，它们都收敛到 <math>H(C)</math>，由此可以得到一些有趣的比较定理。

例子[编辑]

Tor函子的交换性[编辑]

利用谱序列，可以迅速导出Tor函子的交换性，即一自然同构：

<math>\mathrm{Tor}_i(M,N) = \mathrm{Tor}_i(N,M)</math>

取定平坦分解 <math>P_\bullet \to M \to 0</math> 及 <math>Q_\bullet \to N \to 0</math>。视之为集中于正项的复形，其微分映射分别记为 <math>d, e</math>。考虑双复形 <math>C_{i,j} := P_i \otimes Q_j</math>，其微分映射定义为 <math>d_{i,j} := d_i \otimes \mathrm{id} + (-1)^j \mathrm{id} \otimes e_j</math>（以使微分映射满足反交换性）。取其谱序列，遂得到：

<math>'E^2_{p,q} = H^I_p(H^{II}_q(P_\bull \otimes Q_\bull)) = H^I_p(P_\bull \otimes H^{II}_q(Q_\bull))</math>
<math>E^2_{p,q} = H^{II}_q(H^I_p(P_\bull \otimes Q_\bull)) = H^{II}_q(Q_\bull \otimes H^I_p(P_\bull))</math>

由于复形 <math>P_\bullet, Q_\bullet</math> 是平坦分解，其同调群只集中在零次项，此时其表示式为：

<math>H^I_p(P_\bull \otimes N) = \mbox{Tor}_p(M,N)</math>
<math>H^{II}_q(Q_\bull \otimes M) = \mbox{Tor}_q(N,M)</math>

故 <math>'E^2_{p,q}</math> 只在 <math>p=0</math> 上有非零项，而 <math>E^2_{p,q}</math> 只在 <math>q=0</math> 上有非零项，这保证了谱序列在第二页退化，由此导出同构：

<math>\mbox{Tor}_p(M,N) \cong E^\infty_{p,q} = \mbox{gr}_p H^{p+q}(T(C_{\bull,\bull}))</math>
<math>\mbox{Tor}_q(N,M) \cong E^\infty_{p,q} = \mbox{gr}_q H^{p+q}(T(C_{\bull,\bull}))</math>

当 <math>p=q</math> 时，上述等式的右项同构（虽然其分次结构不同），由此得到 Tor 的交换性。

示性数[编辑]

运用谱序列时，通常会假设某些项为零，或假设谱序列在第一或第二页退化。但有时尽管对各项及微分映射一无所知，仍可从谱序列中萃取资讯，最简单的例子是示性数：固定一个阿贝尔范畴 <math>\mathcal{A}</math> 及一个交换群 <math>C</math>，所谓示性数是一个函数 <math>\chi: \mathrm{Ob}\mathcal{A} \to C</math>，满足：

  • <math>\forall 0 \to Y \to X, \; \chi(X) = \chi(Y) + \chi(X/Y)</math>
  • <math>X \simeq Y \Rightarrow \chi(X)=\chi(Y)</math>

例如：取 <math>\mathcal{A}</math> 为某个域 <math>k</math> 上的有限维向量空间范畴，则 <math>\chi: V \mapsto \dim_k V</math> 是一个示性数。

对任一 <math>\mathcal{A}</math> 上的有限复形 <math>K^\bullet</math>，定义

<math>\chi(K^\bullet) = \sum_i (-1)^i \chi(K^i)</math>

容易证明 <math>\chi(K^\bullet) = \sum_i (-1)^i \chi(H^i(K^\bullet))</math>。考虑任一在 <math>\mathcal{A}</math> 上的收敛谱序列 <math>(E_r^\bullet)</math>，由于谱序列的每一页都是前一页的同调，遂得到

<math>\chi(E_r^\bullet) = \chi(E_{r+1}^\bullet) = \cdots = \chi(E_\infty^\bullet)</math>

然而

<math>\chi(E^n) = \sum_p \chi(F^p E^n / F^{p+1}E^n) = \sum_p \chi(E_\infty^{p,n-p})</math>

于是得到

<math>\forall r, \; \sum_n (-1)^n \chi(E^n) = \chi(E_r^\bullet)</math>


参考资料[编辑]

历史文献[编辑]

  • Leray, Jean. L'anneau d'homologie d'une représentation. C. R. Acad. Sci. Paris. 1946, 222: 1366––1368. 
  • Leray, Jean. Structure de l'anneau d'homologie d'une représentation. C. R. Acad. Sci. Paris. 1946, 222: 1419––1422. 
  • Koszul, Jean-Louis. Sur les opérateurs de dérivation dans un anneau. C. R. Acad. Sci. Paris. 1947, 225: 217––219. 
  • Massey, William S. Exact couples in algebraic topology. I, II. Ann. of Math. (2nd series). 1952, 56: 363––396. 
  • Massey, William S. Exact couples in algebraic topology. III, IV, V. Ann. of Math. (2nd series). 1953, 57: 248––286. 

当代文献[编辑]

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