e进制

<math>e</math>进制是以自然常数<math>e</math>作为进位制底数的进制。类似于三进制，通常使用0、1、2三个数字来表达，但由于除了0、1和2之外大部分的整数在<math>e</math>进制中皆需要用无穷小数来表示，因此不是一个实用的进位制，但在底数经济度模型中，<math>e</math>进制被认为是最高效率的进位制。

性质

在e进制中，自然对数的行为与十进制中的常用对数类似，例如：

<math>\ln 1_{\left(e\right)} = 0</math>

<math>\ln 10_{\left(e\right)} = 1</math>

<math>\ln 100_{\left(e\right)} = 2</math>

<math>\ln 1000_{\left(e\right)} = 3</math>

e进制效率

在底数经济度模型中，e进制被认为是最高效率的进位制。

当一个数用<math>x</math>进位（<math>x>0, x \in \mathbb{R}</math>）表达时，每个位数需要<math>x</math>种符号表达，若要表达一个n位数字要储存的元素<math>N(x)</math> ：

<math>N(x) = nx</math>

而<math>x</math>进制系统中表示的n位数的信息量<math>I</math>（<math>I>x</math>）则有：

<math>I = x^n \Leftrightarrow n = \log_{x}I = \frac{\ln I}{\ln x}</math>

因此，在<math>x</math>进制系统中以n位数能表示I的信息量所需的存储元素数<math>N(x)</math>为：

<math>N(x) = nx = \ln I \cdot \frac{x}{\ln x}</math>

在

<math>

\begin{cases} N^{\prime}(x) <0 & 0<x<1 \\ N^{\prime}(x) >0 &x>1 \end{cases} </math> 之下，求出哪个<math>x</math>能使<math>N(x)</math>最小即可， 即找到能使<math>N(x)</math>微分为0的<math>x</math>。

<math>

\begin{align} N^\prime(x) & = \ln I \cdot \left( \frac{x}{\ln x} \right)^\prime \\

& = \ln I \cdot \frac{\ln x - 1}{\left( \ln x \right)^2} \\

\end{align} </math>

在<math>\ln x = 1</math>时<math>N^\prime(x)</math>有根<math>N^\prime(x) = 0</math>，

解得<math>x = e</math>

因此解得以<math>e</math>为底的进位制理论上能有最高的表达效率。

与其他进制比较

e进制中，除了0、1和2之外，其他整数皆需要以无穷不循环小数来表达，其中整数部分可透过贪婪算法找出。

部分的e进制数

十进制	二进制	e进制	三进制
1	1	1	1
2	10	2	2
3	11	10.0200 1120 0001 0101	10
4	100	11.0200 1120 0001 0101	11
5	101	12.0200 1120 0001 0101	12
6	110	20.1110 1110 2102 0120	20
7	111	21.1110 1110 2102 0120	21
8	1000	100.1120 1011 1100 0100	22
9	1001	101.1120 1011 1100 0100	100
10	1010	102.1120 1011 1100 0100	101
11	1011	110.2101 0102 0201 2102	102
12	1100	111.2101 0102 0201 2102	110

无理数的e进制表示

常见无理数的e进制表示如下：

• <math>\color{blue}\pi</math> ≈ 10.101002020002111120020101 …_(e) （OEIS数列A050948）
• <math>\color{blue}e</math> = 10_(e)（在此记数系统为整数）
• <math>\color{blue}\sqrt{2}</math> ≈ 1.100211011011121120001121 …_(e)
• <math>\color{blue}\varphi</math> = <math>\frac{1+\sqrt{5}}{2}</math> ≈ 1.112020121110010020000201 …_(e) （OEIS数列A105166）

参见

• e (数学常数)
• 广义的进位制
• 三进制

参考文献

1. 伊东规之‘マイクロコンピュータの基础’日本理工出版会
2. 桜井进‘超・超面白くて眠れなくなる数学’PHP研究所