2的算术平方根

2的平方根

2的平方根
数表—无理数 <math>\color{blue}\sqrt{2}</math> - <math>\color{blue}\varphi</math> - <math>\color{blue}\sqrt{3}</math> - <math>\color{blue}\sqrt{5}</math> - <math>\color{blue}\delta_S</math> - <math>\color{blue}e</math> - <math>\color{blue}\pi</math>
File:Isosceles right triangle with legs length 1.svg 2的平方根等于一个直角边都是1的等腰直角三角形的斜边长
命名
名称	2的算术平方根 2的主平方根 根号2
识别
种类	无理数
符号	<math>\sqrt{2}</math>
性质
连分数	<math>1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \ddots
以此为根的多项式或函数	<math>x^{2}-2 = 0</math>
表示方式
值	<math>\sqrt{2}\approx</math>1.414213562...

}}</math> | basedata = 二进制1.011010100000100111100110…十进制1.414213562373095048801688…十六进制1.6A09E667F3BCC908B2FB1366…

}} 2的算术平方根，俗称“根号2”，记作<math>\sqrt{2}</math>，可能是最早被发现的无理数。相传毕达哥拉斯学派的希帕索斯首先提出了“<math>\sqrt{2}</math>不是有理数”的命题：若一个直角三角形的两个直角边都是1，那么它的斜边长，无法用整数或分数表示。

<math>\sqrt{2}</math>其最初65位为

1.41421356237309504880168872420969807856967187537694807317667973799… （OEIS数列A002193）

<math>\sqrt{2}</math>精确到小数点后二十位的的有理近似值为<math>\frac{26102926097}{18457556052}</math>。

<math>\sqrt{2}</math>是无理数的证明

人们发现了许多方法证明<math>\sqrt{2}</math>是无理数。以下是反证法的证明

常见的证明

1. 假设<math>\sqrt{2}</math>是有理数，即有整数<math>a_0</math>、<math>b_0</math>，使得<math>\frac{a_0}{b_0}=\sqrt{2}</math>
2. 将<math>\sqrt{2}</math>重写成最简分数<math>\tfrac{a}{b}</math>，即<math>a</math>和<math>b</math>互素，且<math>\left(\tfrac{a}{b}\right)^2=2</math>
3. 所以<math>\frac{a^2}{b^2} =2</math>，即<math>a^2=2b^2</math>
4. 因为<math>2b^2</math>必为偶数，故<math>a^2</math>亦是偶数
5. 故<math>a</math>为偶数（奇数的平方不会是偶数）
6. 所以必有一整数<math>k</math>，使得<math>a=2k</math>
7. 将（3）的式子代入（6）：<math>2b^2=\left(2k\right)^2</math>
8. 化简得<math>b^2=2k^2</math>
9. 因为<math>2k^2</math>是偶数，所以<math>b^2</math>是偶数，<math>b</math>亦是偶数
10. 所以<math>a</math>和<math>b</math>都是偶数，跟<math>\frac{a}{b}</math>是最简分数的假设矛盾
11. 因为导出矛盾，所以（1）的假设错误，<math>\sqrt{2}</math>不是有理数，即是无理数

这个证明可推广至证明任何非完全平方数的正整数<math>n</math>，其算术平方根<math>\sqrt{n}</math>为无理数。

另一个证明

另外一个<math>\sqrt{2}</math>是无理数的反证法证明较少为人所知，但证明方法也相当漂亮：

1. 假设<math>\sqrt{2}</math>是有理数，便可以表示成最简分数<math>\frac{m}{n}</math>，其中<math>m</math>, <math>n</math>为正整数
2. <math>\sqrt{2}=\frac{\sqrt{2}}{1}=\frac{(2-\sqrt{2})(\sqrt{2}+1)}{2-1}=\frac{(2-\sqrt{2})(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}=\frac{2-\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}</math>
3. 由于<math>\sqrt{2}=\frac{m}{n}</math>，所以<math>\frac{2-\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}=\frac{2-\frac{m}{n}}{\frac{m}{n}-1}=\frac{2n-m}{m-n}</math>
4. 因为<math>\frac{m-n}{n}=\sqrt{2}-1</math>
5. <math> 2>\sqrt{2}\Rightarrow1+1>\sqrt{2}\Rightarrow\sqrt{2}-1<1</math>
6. 所以<math>m-n<n</math>
7. 故<math>\frac{2n-m}{m-n}</math>是比<math>\frac{m}{n}</math>更简的分数，与<math>\frac{m}{n}</math>是最简分数的假设矛盾

从一个直角边为<math>n</math>，斜边为<math>m</math>的等腰直角三角形，可以用尺规作图作出直角边为<math>m-n</math>，斜边为<math>2n-m</math>的等腰直角三角形。这是古希腊几何学家的作图证明方法。

性质

2的算术平方根可以表示为以下的级数或无穷乘积：

<math>\frac{1}{\sqrt 2} = \prod_{k=0}^\infty

\left(1-\frac{1}{(4k+2)^2}\right) = \left(1-\frac{1}{4}\right) \left(1-\frac{1}{36}\right) \left(1-\frac{1}{100}\right) \cdots</math>

<math>\sqrt{2} =

\prod_{k=0}^\infty \frac{(4k+2)^2}{(4k+1)(4k+3)} = \left(\frac{2 \cdot 2}{1 \cdot 3}\right) \left(\frac{6 \cdot 6}{5 \cdot 7}\right) \left(\frac{10 \cdot 10}{9 \cdot 11}\right) \left(\frac{14 \cdot 14}{13 \cdot 15}\right) \cdots</math>

<math>\sqrt{2} =

\prod_{k=0}^\infty \left(1+\frac{1}{4k+1}\right) \left(1-\frac{1}{4k+3}\right) = \left(1+\frac{1}{1}\right) \left(1-\frac{1}{3}\right) \left(1+\frac{1}{5}\right) \left(1-\frac{1}{7}\right) \cdots.</math>

<math>\frac{1}{\sqrt{2}} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k \left(\frac{\pi}{4}\right)^{2k}}{(2k)!}.</math>

<math>\sqrt{2} = \sum_{k=0}^\infty (-1)^{k+1} \frac{(2k-3)!!}{(2k)!!} =

1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{2\cdot4} + \frac{1\cdot3}{2\cdot4\cdot6} - \frac{1\cdot3\cdot5}{2\cdot4\cdot6\cdot8} + \cdots.</math>

<math>\sqrt{2} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(2k+1)!}{(k!)^2 2^{3k+1}} = \frac{1}{2} +\frac{3}{8} +

\frac{15}{64} + \frac{35}{256} + \frac{315}{4096} + \frac{693}{16384} + \cdots.</math>

2的算术平方根的连分数展开式为：

<math> \!\ \sqrt{2} = 1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{\ddots}}}}. </math>

}}</math>， 由观察可知<math>x=2+\frac{1}{x}</math>，即<math>x^2-2x-1=0</math>， 解方程，取正根，得<math>x=1+\sqrt{2}</math>， 因此<math>\sqrt{2}=x-1= 1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{\ddots}}}}</math>。}}

参见

• 3的算术平方根
• 5的算术平方根
• 平方根
• 无理数

外部链接

• <math>\sqrt{2}</math>是无理数的六个证明，香港大学数学系萧文强（页面存档备份，存于互联网档案馆）（Mathematical Excalibur Vol.3 No.1 Page 2）
• 旧题新解 — 根号2是无理数，张海潮 张镇华（数学传播 第 30 卷 第 4 期）