进位制

进位制（carry system）又称进制、进位系统，是一种记数制度、系统或方法；利用这种“记数法”，可以使用有限种的“数字符号”来表示所有的数值。进位（carry）则是传送进位数之动作或过程。

进位制，“进”表示在一个位值的数字达到基数后，将其重置为零并使高一位（位值）的数字加一。“位”代表位值（place value）。

进位制的其他名称：位置记法（positional notation）、数字命位法、定位记法、进位记数法、位值记数法（place-value notation）、位置数值系统（positional numeral system）。

一种进位制中可以使用的数字符号的数目，称为这种进位制的基数或底数。若一个进位制的基数为 <math>n</math>，即可称之为 <math>n</math>进位制，简称 <math>n</math>进制。现在最常用的进位制是十进制，这种进位制通常使用10个阿拉伯数字（即 0-9 ）进行记数。

我们可以用不同的进位制来表示同一个数。比如：十进数，可以用二进制表示为，也可以用五进制表示为，同时也可以用八进制表示为，可用十二进制表示为，亦可用十六进制表示为，它们所代表的数值都是一样的。

在10进制中有10个数字（0 - 9），比如：

<math> 2506 = 2 \times 10^3 + 5 \times 10^2 + 0 \times 10^1 + 6 \times 10^0 </math>.

在16进制中有16个数字（0–9 和 A–F），比如：

<math> 171B = 1 \times 16^3 + 7 \times 16^2 + 1 \times 16^1 + B \times 16^0 </math> (16进制中A代表10,B代表11,C代表12,D代表13,E代表14,F代表15）

一般说来，<math>b</math>进制有<math>b</math>个数字，如果<math> a_3, a_2, a_1, a_0 </math>是其中四个数字，那么就有

<math> a_3 a_2 a_1 a_0 = a_3 \times b^3 + a_2 \times b^2 + a_1 \times b^1 + a_0 \times b^0 </math> (注意，<math> a_3 a_2 a_1 a_0 </math> 表示一个数字序列, 而不是数字的相乘)

常见进位制及其用途

底/基数	名称	描述
10	十进制	世界上最常见的算术运算位进制系统，它是2和5的乘积，用于大多数机械计数器。其十位数字为 “0-9”。
12	十二进制	因为有多个因数如2，3，4和6的易于整除性，它传统上用以表示数量和总数，如一打即为十二个单位。十二位数字为“0-9”，接着是“A”和“B”。
20	二十进制	因为有多个因数如2，4，5和10的易于整除性，在几种传统文化中的数字系统，仍然被用于计数。二十位数字为“0-9”，接着是“A-J”。
26	二十六进制、双射二十六进制	这是一种使用26个拉丁字母来表示数的方法，Excel表格的列编号使用双射二十六进制。在普通二十六进制中，二十六位数字为“O-Z”，把O提前代表0，按照O、A、B……的顺序排列（O表示0、A表示1、B表示2……Z表示25、AO代表26、AA代表27……）；而在双射二十六进制中，二十六位数字为“A-Z”，A代表1、B代表2……Z代表26、AA代表27、AB代表28……，没办法表示0。所有英语单词（不区分大小写）都可以按照双射二十六进制转十进制的方法转换为自然数。
14	十四进制	用于扑克牌中，并可能用于某些小说中外星人的进制系统。十四位数字为“0-9”，接着是“A-D”。
2	二进制	几乎所有的电子计算机内部都使用二进位制，分别为“0”和“1”表示“关”和“开”。用于大多数电子计数器。
3	三进制	某些计算机中可能采用三进制而不是二进制（如Сетунь）。理论上这比二进制更高效。三位数字分别为0、1、2，或者为T、0、1（平衡三进制）。
16	十六进制	经常用于计算机领域，2到4次幂。十六位数字为“0-9”，接着是“A-F”。
8	八进制	偶尔用于计算机领域，2到3次幂。并可能用于某些小说中外星人的进制系统。八位数字为“0-7”。
60	六十进制	起源于古代苏美尔并传给巴比伦人。六十成为3,4和5的乘积。今天用作现代圆形坐标系（度，分，秒）和时间测量（小时，分钟和秒）的基础。

八进位制和十六进位制系统通常用于计算机领域，因为它们可方便当作二进位制的简写。十六进位制数字对应于四位二进位制数字的序列，因为十六是二的四次方; 例如，十六进位制 78₁₆ 是二进制 1111000₂。八进位制数和二进位制的数字序列之间也有类似关系，因为八是二的立方。底数通常是自然数。 然而，其它位进制系统也是可能的。黄金比率底数（其底为非整数代 数）和负底数（其底为负数）。

外部链接

• 进位转换器（网页版） （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Accurate Base Conversion
• The Development of Hindu Arabic and Traditional Chinese Arithmetics
• Implementation of Base Conversion （页面存档备份，存于互联网档案馆） at cut-the-knot
• Learn to count other bases on your fingers （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• From one to another number system （页面存档备份，存于互联网档案馆）