ARCH模型
ARCH模型（英语：Autoregressive conditional heteroskedasticity model，全称：自回归条件异方差模型），解决了传统的计量经济学对时间序列变量的第二个假设（方差恒定）所引起的问题。这个模型是获得2003年诺贝尔经济学奖的计量经济学成果之一。
起源[编辑]
传统的计量经济学对时间序列变量的第二个假设：假定时间序列变量的波动幅度（方差）是固定的，不符合实际，比如，人们早就发现股票收益的波动幅度是随时间而变化的，并非常数。这使得传统的时间序列分析对实际问题并不有效。
罗伯特·恩格尔在1982年发表在《计量经济学》杂志（Econometrica）的一篇论文中提出了ARCH模型解决了时间序列的波动性（volatility）问题，当时他研究的是英国通货膨胀率的波动性。
ARCH模型内涵[编辑]
以<math> \varepsilon_t </math>表示收益或者收益残差，假设<math> \varepsilon_t=\sigma_t z_t </math>，此处<math> z_t\sim iid\ N(0,1) </math>（即独立同分布，均符合期望为0，方差为1的正态分布）此处序列<math> \sigma_t^2 </math>建模为
- <math> \sigma_t^2=\alpha_0+\alpha_1 \varepsilon_{t-1}^2+\cdots+\alpha_p \varepsilon_{t-p}^2 </math>
（其中<math> \alpha_0>0 , \alpha_i\ge 0 , i>0 </math>，即各期收益以非负数线性组合，常数项为正数。
GARCH模型[编辑]
如果方差用ARMA模型来表示，则ARCH模型的变形为GARCH模型（波勒斯勒夫（Bollerslev），1986年）。
GARCH（p，q）模型为
- <math> \sigma_t^2=\alpha_0+\alpha_1 \varepsilon_{t-1}^2+\cdots+\alpha_q \varepsilon_{t-q}^2 +\beta_1 \sigma_{t-1}^2+\cdots+\beta_p\sigma_{t-p}^2 </math>
IGARCH[编辑]
IGARCH模型对GARCH的参数做了限制。IGARCH（p，q）模型可以表示为：
- <math> \sigma_t^2 = \alpha_0 + \sum_{i=1}^p \alpha_i \epsilon_{t-i}^2 + \sum_{i=1}^q \beta_i \sigma_{t-i}^2 </math>
- 条件是：<math> \sum_{i=1}^p \alpha_i + \sum_{i=1}^q \beta_i =1 </math>
GARCH-M[编辑]
GARCH-M模型把异方差项引入平均数方程式。一个简单的GARCH-M（1，1）模型可以表示为：
- <math>y_t = ~\gamma x_t + ~\phi~\sigma_{t-1} + ~\epsilon_t</math>
- <math> \sigma_t^2 = \alpha_0 + \alpha_1 \epsilon_{t-1}^2 + \beta_1 \sigma_{t-1}^2 </math>
残差项<math> ~\epsilon_t </math>定义为：
- <math> ~\epsilon_t\sim \ N(0,\sigma_t^2)</math>
ARCH模型的应用[编辑]
ARCH模型能准确地模拟时间序列变量的波动性的变化，它在金融工程学的实证研究中应用广泛，使人们能更加准确地把握风险（波动性），尤其是应用在风险价值（Value at Risk）理论中，在华尔街是人尽皆知的工具。