十二律

十二律是中国传统音乐使用的音律，后来逐渐传入到朝鲜、日本、越南等东南亚国家。律，本指用来定音的竹管，古人用十二个不同长度的律管，吹出十二个高度不同的标准音高，以定出音阶的高低，故这十二个标准音高也叫十二律。

中国古代以“三分损益法”定律，将十二个音逐个导出；而前五个音与主音的数学关系较为简单，同时也是常用音阶，故又与十二个音并称五音十二律。

音调

十二律分为阴阳两类，奇数六律为阳律，叫做六律；偶数六律为阴吕，称为六吕，合称律吕。一般所说的六律包括阴阳各六的十二律。

律名	相对黄钟之音程	相对黄钟之频率比例			音讯
黄钟	主音/纯一度	<math>1:1</math>	<math>1</math>	<math>1</math>	<phonos wikibase="" file="Unison on C.mid">播放</phonos>
大吕	小二度（=自然半音）	<math>3^{7}:2^{11}</math>	<math>{2187\over2048}</math>	<math>1.06787109375</math>	<phonos wikibase="" file="Pythagorean apotome on C.mid">播放</phonos>
太簇	大二度	<math>3^{2}:2^{3}</math>	<math>{9\over8}</math>	<math>1.125</math>	<phonos wikibase="" file="Major tone on C.mid">播放</phonos>
钟	增二度（≈小三度）	<math>3^{9}:2^{14}</math>	<math>{19683\over16384}</math>	<math>1.20135498046875</math>	<phonos wikibase="" file="Pythagorean augmented second on C.mid">播放</phonos>
姑	大三度	<math>3^{4}:2^{6}</math>	<math>{81\over64}</math>	<math>1.265625</math>	<phonos wikibase="" file="Pythagorean major third on C.mid">播放</phonos>
仲吕	增三度（≈完全四度）	<math>3^{11}:2^{17}</math>	<math>{177147\over131072}</math>	<math>1.35152435302734</math>	<phonos wikibase="" file="Pythagorean augmented third on C.mid">播放</phonos>
宾	增四度	<math>3^{6}:2^{9}</math>	<math>{729\over512}</math>	<math>1.423828125</math>	<phonos wikibase="" file="Pythagorean augmented fourth on C.mid">播放</phonos>
林钟	纯五度	<math>3:2</math>	<math>{3\over2}</math>	<math>1.5</math>	<phonos wikibase="" file="Just perfect fifth on C.mid">播放</phonos>
夷则	增五度（≈小六度）	<math>3^{8}:2^{12}</math>	<math>{6561\over4096}</math>	<math>1.601806640625</math>	<phonos wikibase="" file="Pythagorean augmented fifth on C.mid">播放</phonos>
南吕	大六度	<math>3^{3}:2^{4}</math>	<math>{27\over16}</math>	<math>1.6875</math>	<phonos wikibase="" file="Pythagorean major sixth on C.mid">播放</phonos>
无	增六度（≈小七度）	<math>3^{10}:2^{15}</math>	<math>{59049\over32768}</math>	<math>1.80203247070312</math>	<phonos wikibase="" file="Pythagorean augmented sixth on C.mid">播放</phonos>
钟	大七度	<math>3^{5}:2^{7}</math>	<math>{243\over128}</math>	<math>1.8984375</math>	<phonos wikibase="" file="Pythagorean major seventh on C.mid">播放</phonos>
清黄钟	增七度（≈纯八度）	<math>3^{12}:2^{18}</math>	<math>{531441\over262144}</math>	<math>2.02728652954102</math>

三分损益法

相传三分损益法为管仲所发明。

司马迁的《史记》“律书第三”中写到：“……九九八十一以为宫。三分去一，五十四以为徵。三分益一，七十二以为商。三分去一，四十八以为羽。三分益一，六十四以为角。”

意思是取一根用来定音的竹管，长为81单位，定为“宫音”。然后将81乘上2/3，就得到54单位，定为“徵音”。将徵音的竹管长度54乘上4/3，得到72单位，定为“商音”。将商音72乘2/3，得48单位，为“羽音”。羽音48乘4/3，得64单位，为“角音”。而这宫、商、角、徵、羽五个音高，被称为中国的五音。

中国音乐中用来定音律的“三分损益法”的确立是考“中声”而量之以制。儒家的“中声”指音高、速度适中的有节制的音乐，“琴瑟尚宫，锺尚羽，石尚角，匏竹利制，大不逾宫，细不过羽”，要舍却弹奏中的“烦手”（复杂多变）。《左传》有鲜明排斥过度追求音响、速度变化的“淫声”、以能使人保持平和“中声”为美的思想。 “毕氏学派”中的“五度相生律”与三分损益法相似，但是五度相生律与三分益损法上下生成次序有不同，产生的音阶相对应为中国音阶中的燕调式，与中国流行的宫调式不同。

三分损益与十二律的相关物理

在声学中，音高指物体振动的频率。取一简单物体（如竹管、丝弦）用来定音高时，其频率与长度成反比关系；若物体材质固定，长度愈长，则音高愈低。

特别地，当长度减为一半时，频率变为原先的两倍；长度增为两倍时，频率变为原先的一半。将这种互为二倍的特殊比例定义为彼此互为八度，便可由此从九九八十一的长度出发，试算前述借由“三分损益”求得的长度所得到的十二律（宫调）：

黄钟（C）：<math>81</math>（<math>n = 0</math>）

林钟（G，由黄钟三分损而来）：<math>{81 \times \frac{2}{3}} = 54</math>（<math>n = 0 + 7 = 7</math>）

太簇（D，由林钟三分益而来）：<math>{54 \times \frac{4}{3}} = 72</math>（<math>n = 7 - 5 = 2</math>）

南吕（A，由太簇三分损而来）：<math>{72 \times \frac{2}{3}} = 48</math>（<math>n = 2 + 7 = 9</math>）

姑洗（E，由南吕三分益而来）：<math>{48 \times \frac{4}{3}} = 64</math>（<math>n = 9 - 5 = 4</math>）

应钟（B，由姑洗三分损而来）：<math>{64 \times \frac{2}{3}} = 42\frac{2}{3}\approx 42.6666667</math>（<math>n = 4 + 7 = 11</math>）

蕤宾（F♯，由应钟三分益而来）：<math>{42\frac{2}{3} \times \frac{4}{3}} = 56\frac{8}{9}\approx 56.8888889</math>（<math>n = 11 - 5 = 6</math>）

大吕（C♯，由蕤宾三分益而来）：<math>{56\frac{8}{9} \times \frac{4}{3}} = 75\frac{23}{27}\approx 75.8518519</math>（<math>n = 6 - 5 = 1</math>）

夷则（G♯，由大吕三分损而来）：<math>{75\frac{23}{27} \times \frac{2}{3}} = 50\frac{46}{81}\approx 50.5679012</math>（<math>n = 1 + 7 = 8</math>）

夹钟（D♯，由夷则三分益而来）：<math>{50\frac{46}{81} \times \frac{4}{3}} = 67\frac{103}{243}\approx 67.4238683</math>（<math>n = 8 - 5 = 3</math>）

无射（A♯，由夹钟三分损而来）：<math>{67\frac{103}{243} \times \frac{2}{3}} = 44\frac{692}{729}\approx 44.9492455</math>（<math>n = 3 + 7 = 10</math>）

仲吕（E♯≈F，由无射三分益而来）：<math>{44\frac{692}{729} \times \frac{4}{3}} = 59\frac{2039}{2187}\approx 59.9323274</math>（<math>n = 10 - 5 = 5</math>）

清黄钟（B♯≈C，即黄钟的高八度音，由仲吕三分损而来）：<math>{59\frac{2039}{2187} \times \frac{2}{3}} = 39\frac{6265}{6561} \approx 39.9548849</math>（<math>n = 5 + 7 = 12</math>）

• 注意，最后一个“清黄钟”的长度<math>39.9548849</math>与直接取“黄钟”长度的一半<math>40.5</math>仍有一段小小的差距，这就是“黄钟不能还原”的问题；因连乘十二次<math>\frac{2}{3}</math>或<math>\frac{4}{3}</math>后的值不可能达到原始的<math>\frac{1}{2}</math>（<math>\frac{2^{6} \times 4^{6}}{3^{12}}\approx 0.493270184</math>），这个差距所对应的音高振动频率比被称作毕达哥拉斯音差（<math>\frac{3^{12}}{2^{7} \times 4^{6}}\approx 1.01364</math>）。
• 另外，若定律时不断使用三分损益的操作，最后一定会出现除不尽的小数，使得实际制作时易产生误差；然而现实上，准确度（Accuracy）与精密度（Precision）绝对有其极限，故经十二次三分损益后已可构成一个（不甚完美的）音阶循环；这也是中西乐理都不约而同发展为以12音阶为主流的原因，之后才出现如纯律、十二平均律等不同的改进或修正方法

将上方的计算结果对照《史记·律书》之记载，便可发现其中抄录错误。宋代沈括《梦溪笔谈》便指《律书》中“七分”等文字当为“十分”之误，故原文中黄钟“八寸七分一”为“八寸十分一”（81分）才合理。以下列出古音十二律与史记记载更正之比较，并附“西方参考音名”及“与十二平均律之偏差”之计算。

File:和汉洋十二音律対照表 1909年 音名・阶名.jpg

大冢寅藏着‘新案日本数字符　明清乐独学’所载“和汉洋十二音律对照表”

中国音名	三分损益（由原文更正后）	西方音名	十二平均律	三分损益与十二平均律之偏差（%）
黄钟	81	C	81	-
林钟	54	G	54.0610	0.11
太簇	72	D	72.1628	0.23
南吕	48	A	48.1629	0.34
姑洗	64	E	64.2898	0.45
应钟	42.6667	B	42.9083	0.56
蕤宾	56.8889	F♯	57.2757	0.68
大吕	75.8519	C♯	76.4538	0.79
夷则	50.5679	G♯	51.0268	0.90
夹钟	67.4239	D♯	68.1126	1.01
无射	44.9492	A♯	45.4597	1.12
仲吕	59.9323	E♯≈F	60.6814	1.23
清黄钟	39.9549	B♯≈C'	40.5000	1.35

若不照音高排列，而是如上表照三分损益法排列十二律，则会发现其顺序与五度圈自C开始顺时钟方向的音位排列恰巧一样。

音律与历法的配合

由于音律与一年中的月分恰好都定有十二个，于是在中国上古时代，人们便把十二律和十二月联系起来，又名十二月律。例如大秦景教流行中国碑中有“太蔟月”即正月。依照《礼记·月令》上的记载，它们之间的对应为：

孟春之月，律中太簇；
仲春之月，律中夹钟；
季春之月，律中姑洗；
孟夏之月，律中仲吕；
仲夏之月，律中蕤宾；
季夏之月，律中林钟；
孟秋之月，律中夷则；
仲秋之月，律中南吕；
季秋之月，律中无射；
孟冬之月，律中应钟；
仲冬之月，律中黄钟；
季冬之月，律中大吕。

所谓“律中”就是“音律的对应”，其征验的方法则是凭“吹灰”。据说古人将十二根律管里塞入葭莩的灰，只要到了某个月分，相对应的那一只律管中的灰就会自动地飞扬出来，这便是“吹灰候气”、“夷则为七月之律”等词汇的典故。当然以今日的观点，吹灰候气并没有现实的根据。

值得注意的一点，十二律中最基本的是黄钟，而中国历法最基本的则是含有冬至的月份。《月令》中所列出的，正是以黄钟对应冬至所在的仲冬月分——子月（大雪至小寒之月）。

另外，《周髀算经》提及由于中国古代使用天干地支，以六十年甲子为一个周期，而60又有2、3、4、5、6、10、12、15、20、30等因数，所以不同时期规律出现的天象，会在60年内集中重复，这些看似奇异的现象实际上是可以用数理逻辑解释清楚的。

外部链接

• 戴振铎：〈广义三分损益律与朱载堉十二平均律及纯律的关系〉。
• 《史记》中记载的“律数”