图册
脚本错误：没有“Message box”这个模块。 Template:NoteTA Template:HatnoteTemplate:If either 在数学，特别是在拓扑学中，一个图册（Template:Langx）描述了一个流形如何装备一个微分结构。每一小块由一个卡（Template:Langx）给出（也称为坐标卡，脚本错误：没有“Lang”这个模块。，或局部坐标系，脚本错误：没有“Lang”这个模块。）。以图册来定义流形的概念由夏尔·埃雷斯曼于1943年所提出。
卡[编辑]
流形 <math>\mathcal{M}</math> 上的一个卡（或区图）是 <math>\mathcal{M}</math> 的一个开集 <math>U</math> 到 <math>\mathbb{R}^n</math> 中开集 <math>V</math> 的一个同胚映射<math>\varphi: U\to V</math>。
卡的定义与图册的定义密切相关。
定义[编辑]
流形 <math>\mathcal{M}</math> 上的一个图册是一族 <math>\mathcal{M}</math> 上的卡 <math>\mathcal{A} = \{(U_{\alpha}, \varphi_{\alpha})\}</math>，使得其定义域覆盖整个 <math>\mathcal{M}</math> 。
转移映射[编辑]
如果 <math>(U_{\alpha}, \varphi_{\alpha})</math> 与 <math>(U_{\beta}, \varphi_{\beta})</math> 是 <math>\mathcal{M}</math> 的两个卡，使得 <math>U_{\alpha} \cap U_{\beta}</math> 非空，则定义了转移映射（脚本错误：没有“Lang”这个模块。）
- <math display="block">\varphi_{\alpha,\beta} : \varphi_{\alpha}(U_{\alpha} \cap U_{\beta}) \to \varphi_{\beta}(U_{\alpha} \cap U_{\beta}),</math>其中 <math>\varphi_{\alpha,\beta} = \varphi_{\beta} \circ \varphi_{\alpha}^{-1}</math>。
因为 <math>\varphi_{\alpha}</math> 与 <math>\varphi_{\beta}</math> 都是同胚，转移映射也是同胚。所以，转移映射已经赋予了某种相容性，使得从一个卡上的坐标系变到另一个卡上的坐标系是连续的。
两个有重叠的卡 <math>(U_{\alpha}, \varphi_{\alpha})</math> 与 <math>(U_{\beta}, \varphi_{\beta})</math> 是光滑协调的，如果他们之间的转移映射是从欧几里得空间到自身的光滑映射。
定义了这样概念以后，如果 <math>\mathcal{M}</math> 上的一个图册中任意两个有重叠的卡之间的转移映射是光滑协调的，则称这样的图册为光滑图册。
设 <math>\mathcal{A}</math> 与 <math>\mathcal{B}</math> 是 <math>\mathcal{M}</math> 上的两个光滑图册。如果<math>\mathcal{A}</math> 中任意的一个卡与 <math>\mathcal{B}</math> 中所有重叠的卡都是光滑协调的，则称 <math>\mathcal{A}</math> 与 <math>\mathcal{B}</math> 是光滑协调的。如果这样，则 <math>\mathcal{A} \cup \mathcal{B}</math> 也是 <math>\mathcal{M}</math> 上的一个光滑图册。光滑图册的概念给出了一个等价关系，使得可以考虑光滑协调图册的等价类，称为极大图册。一个流形 <math>\mathcal{M}</math> 与一个 <math>\mathcal{M}</math> 上的极大图册 <math>\mathcal{A}</math> 可称为有一个光滑结构。在高维，拓扑流形可能具有不同的光滑结构。第一个例子是约翰·米尔诺发现的怪球面，一个同胚于，但不微分同胚于7维球面的流形。
一般地，用流形的极大图册做计算是不实用的，我们只需要选定一个特定的光滑图册。定义从一个流形到另一个流形的光滑映射时需要用到极大图册。
转移映射的可微性条件可以弱化，所以我们可以只要求转移函数为k-次连续可微；或者加强，所以我们要求转移映射为实解析的。相应地，这便给出了流形上的 <math>C^k</math> 或解析结构。类似地，我们可以定义复流形要求转移映射为全纯的。