变分

变分是在应用数学与变分法中泛函应对与函数中的微分使用的概念。具体可以分为泛函的变分、函数的变分等。

函数的变分

设极值曲线为<math>\hat{y}=\hat{y}(x)</math>，可取曲线为<math>y=y(x)</math>。定义<math>\delta{y}=\hat{y}-y</math>为y的一次变分，即函数y的增量。从而可得<math>\delta{y'}=\hat{y}'-y'</math>

对隐函数<math>\varphi(x,y)=0</math>，其一次变分即为全微分：<math>{\delta}{\varphi} =\delta y \frac{\partial{\varphi}}{\partial{y}}+\delta x \frac{\partial{\varphi}}{\partial{x}}</math>。由于x无增量，即<math>\delta x=0</math>，故有<math>{\delta}{\varphi} =\delta y \frac{\partial{\varphi}}{\partial{y}}</math>。

泛函的变分

对泛函<math>\underset{y}\min{J(y)}=\int_{x_0}^{x_1} F(x,y(x),y'(x)) dx</math>，

可得<math>J(\hat y)-J(y)=\int_{x_0}^{x_1} (\frac{\partial F}{\partial y}\delta y+\frac{\partial F}{\partial y'}\delta y' )dx+O(\delta y)</math>，其一次变分是其Taylor级数的一次项，即<math>\delta J = \int_{x_0}^{x_1} (\frac{\partial F}{\partial y}\delta y+\frac{\partial F}{\partial y'}\delta y' )dx</math>，或直接定义一次变分为 <math>\delta J(y, h)= \frac{d}{d\varepsilon} J(y + \varepsilon h)\left.\right|_{\varepsilon = 0}\,</math> 。

故其二次变分为其Taylor级数的二次项，即<math>\delta^2 J= \frac{1}{2}\int_{x_0}^{x_1} (\frac{\partial^2 F}{\partial y^2}(\delta y)^2+\frac{\partial^2 F}{\partial y\partial y'}\delta y\delta y'+\frac{\partial^2 F}{\partial y'^2}(\delta y')^2 )dx</math>。

需要注意，与二阶微分<math>d^2y=d(dy)</math>不同，泛函的二次变分不是对其一次变分再取变分。

实例

计算 <math>J(y)=\int_a^b yy' dx\,</math>的一次变分？

<math>\delta J(y, h)\,</math>	<math>= \frac{d}{d\varepsilon} J(y + \varepsilon h)\left.\right|_{\varepsilon = 0}</math>
	<math>= \frac{d}{d\varepsilon} \int_a^b (y + \varepsilon h)(y^\prime + \varepsilon h^\prime) \ dx\left.\right|_{\varepsilon = 0}</math>
	<math>= \frac{d}{d\varepsilon} \int_a^b (yy^\prime + y\varepsilon h^\prime + y^\prime\varepsilon h + \varepsilon^2 hh^\prime) \ dx\left.\right|_{\varepsilon = 0}</math>
	<math>= \int_a^b \frac{d}{d\varepsilon} (yy^\prime + y\varepsilon h^\prime + y^\prime\varepsilon h + \varepsilon^2 hh^\prime) \ dx\left.\right|_{\varepsilon = 0}</math>
	<math>= \int_a^b (yh^\prime + y^\prime h + 2\varepsilon hh^\prime) \ dx\left.\right|_{\varepsilon = 0}</math>
	<math>= \int_a^b (yh^\prime + y^\prime h) \ dx</math>

参见

• 泛函
• 变分法
• 控制论

参考文献

外链

• Exampleproblems.com（页面存档备份，存于互联网档案馆）有更多计算泛函一次变分的实例。