外代数

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左图：由向量的有序集所定义出的定向

File:N vector negative.svg

右图：反定向，对应到加上负号的外积

实外代数中，n 阶元素的几何诠释：n = 0（具有正负号的点），1（具有指向的线段，即向量），2（具有定向的平面元），3（具有定向的体积）。n个向量的外积可以图像化为n维几何物体（例如n维平行六面体, n维椭球）；其大小为超体积（hypervolume），其定向的定义由(n − 1)维边界以及物体内部在哪一侧来决定。

外代数（英语：Exterior algebra）也称为格拉斯曼代数（Grassmann algebra），以纪念数学家赫尔曼·格拉斯曼。

数学上，向量空间<math>V</math>的外代数是一个特定有单位的结合代数，其包含了<math>V</math>为其中一个子空间。它记为<math>\land (V)</math>或<math>\land\cdot(V)</math>. 而它的乘法，称为楔积或外积，记为<math>\land</math>. 楔积是结合的和双线性的；其基本性质是它在<math>V</math>上是交错的，也就是：

<math>v\wedge v = 0</math>，对于所有向量<math>v\in V</math>

这表示

<math>u\wedge v = - v\wedge u</math>，对于所有向量<math>u,v\in V</math>，以及

<math>v_1\wedge v_2\wedge\cdots \wedge v_k = 0</math>，当<math>v_1,\ldots,v_k\in V</math> 线性相关时。

值得注意的是，以上三性质只对<math>V</math>中向量成立，不是对代数<math>\land (V)</math>中所有向量成立。

外代数事实上是“最一般的”满足这些属性的代数。这意味着所有在外代数中成立的方程只从上述属性就可以得出。<math>\land (V)</math>的这个一般性形式上可以用一个特定的泛性质表示，请参看下文。

形式为<math>v_1\land v_2\land\ldots\land v_k</math>的元素，其中<math>v_1,\ldots,v_k</math>在<math>V</math>中，称为<math>k</math>-向量。所有<math>k</math>-向量生成的<math>\land (V)</math>的子空间称为<math>V</math>的<math>k</math>-阶外幂，记为<math>\land^k(V)</math>。外代数可以写作每个<math>k</math>阶幂的直和：

<math>\Lambda(V) = \bigoplus_{k=0}^{\infty} \Lambda^k V</math>

该外积有一个重要性质，就是<math>k</math>-向量和<math>I</math>-向量的积是一个<math>k+I</math>-向量。这样外代数成为一个分次代数，其中分级由<math>k</math>给出。这些<math>k</math>-向量有几何上的解释：2-向量<math>u\land v</math>代表以<math>u</math>和<math>v</math>为边的带方向的平行四边形，而3-向量<math>u\land v\land w</math>代表带方向的平行六面体，其边为<math>u</math>, <math>v</math>, 和<math>w</math>。

外幂的主要应用在于微分几何，其中他们用来定义微分形式。因而，微分形式有一个自然的楔积。所有这些概念由格拉斯曼提出。

定义及运算律

外代数有很多种等价的定义，下面的定义是最简洁的一个。

定义: 设 <math>V</math>是域 <math>K</math>上的一个向量空间，让<math>T^k(V):=\underset{k}{\underbrace{V\otimes\cdots\otimes V}} </math>则定义

<math>T(V) = \bigoplus_{k=0}^\infty T^k V

  = K \oplus V \oplus (V \otimes V) \oplus (V \otimes V \otimes V) \oplus \ldots

</math> 令 <math>I</math>为 <math>V</math>的张量代数的理想（即双边理想），该理想是由所有形如<math>v \otimes v</math>的张量生成的（其中<math>v \in V</math>任意），则将<math>V</math>上的外代数<math>\Lambda (V)</math>定义为商代数<math>T(V)/I</math>，即

<math>

 \Lambda(V) := T(V)/I,

</math>

并且把<math>v_1 \otimes \ldots \otimes v_k \in T^k V</math>的等价类<math>[v_1 \otimes \ldots \otimes v_k] \in T(V)/I</math>记为<math>v_1 \wedge \ldots \wedge v_k</math>，其中 <math>v_1, \ldots, v_k \in V</math>。设<math>k = 0, 1, 2, \ldots \, ,</math> 称

<math>\Lambda^k(V) := (T^k V)/I</math>

为<math>V</math>的<math>k</math>-阶外幂（<math>k</math>th exterior power of <math>V</math>），称<math>\land^k (V)</math>中的元素为<math>k</math>-向量（<math>k</math>-multivector）。

注：

1. <math>\forall \lambda \in K</math>，当且仅当<math>\lambda = 0</math>时才有<math>\lambda \in I</math>，因此，可以把<math>\Lambda^0 (V) = K/I</math>等同于<math>K</math>，并且把<math>[\lambda] \in \Lambda^0 (V)</math>记为<math>\lambda</math>；基于类似的原因，可以把<math>\Lambda^1 (V) = V/I</math>等同于<math>V</math>，而且把<math>[v] \in \Lambda^0 (V)</math>记为<math>v</math>。这一点是前面所讲的能够把<math>[v_1 \otimes \ldots \otimes v_k] \in \Lambda^k (V)</math>记为 <math>v_1 \wedge \ldots \wedge v_k</math>的特例和前提。
2. 当<math>k > 1</math>时，<math>k</math>-向量并不仅限于形如<math>v_1 \wedge \ldots \wedge v_k</math>的元素，例如，<math>v_1 \wedge v_2 + w_1 \wedge w_2</math>也是2-向量，其中<math>v_1, v_2, w_1, w_2 \in V</math>.
3. 理想<math>I</math>中的元素并不仅限于形如<math>v \otimes v</math>的张量，例如，
   1. <math>\forall v \in V, \forall t \in T(V)</math>, 必定有 <math>v \otimes v \otimes t \in I</math>和<math>t \otimes v \otimes v \in I</math>.
   2. <math>\forall v, w \in V</math>, 由于<math>(v + w) \otimes (v + w) \in I</math>和<math>v \otimes v \in I</math>以及<math>w \otimes w \in I</math>，显然有<math>v \otimes w + w \otimes v = (v + w) \otimes (v + w) - v \otimes v - w \otimes w \in I</math>，这就有一个推论：所有的二阶对称张量都在理想<math>I</math>中。
   3. 由于上面的两个结论，<math>\forall v, w \in V</math>，我们有<math>v \otimes w \otimes v = v \otimes (w \otimes v + v \otimes w) - v \otimes v \otimes w \in I</math>，这是因为等式右边的每一项都在<math>I</math>中。对张量<math>t \in T(V)</math>的阶数作数学归纳法，则可以证明：<math>\forall v \in V</math>, <math>\forall t \in T(V)</math>，总有<math>v \otimes t \otimes v \in I</math>。
4. 设<math>k = 2, 3, \ldots</math>，则<math>\forall \alpha \in \Lambda^k (V)</math>，<math>\alpha</math>作为等价类含有唯一的一个完全反对称的代表元<math>t \in T^k (V)</math>，可以把这个<math>k</math>-阶的完全反对称张量等同于<math>\alpha</math>, 详见后面的“反对称算子和外幂”一节。在有些文献中，<math>k</math>-向量就是以这种方式定义的。

运算律 将上面的注中的内容用<math>\wedge</math>写出，则分别给出

(1) <math>\forall \lambda \in K, \alpha \in \Lambda(V)</math>, <math>\lambda \wedge \alpha = \alpha \wedge \lambda = \lambda \alpha.</math>

证明如下： 作为等价类，我们从<math>\alpha \in \Lambda(V) = T(V)/I</math>中任意挑选一个代表元<math>t</math>，则<math>t \in T(V)</math>而且<math>\alpha = [t]</math>。根据商代数的定义，

<math>\lambda \wedge \alpha = [\lambda] \wedge [t] = [\lambda \otimes t] = [\lambda t] = \lambda [t] = \lambda \alpha.</math>

类似地，可以证明<math>\alpha \wedge \lambda = \lambda \alpha \, .</math>

(2) 根据注3.1中的内容，显然有<math>v \wedge v = 0, \, \forall v \in V</math>.

(3) 根据注3.2中的内容，对任意<math>v, w \in V</math>成立着

<math>v \wedge w = - w \wedge v.</math>

注：即使<math>K</math>的特征为2，这个公式也是对的，只不过此时有<math>-1 = 1</math>而已。

(4) 根据商代数的定义以及张量代数的性质，运算<math>\wedge: \Lambda(V) \times \Lambda(V) \rightarrow \Lambda(V)</math>满足结合律和分配律：

<math>(\alpha \wedge \beta) \wedge \theta = \alpha \wedge (\beta \wedge \theta),</math>

<math>(\alpha + \beta) \wedge \theta = \alpha \wedge \theta + \beta \wedge \theta,</math>

<math>\alpha \wedge (\beta + \theta) = \alpha \wedge \beta + \alpha \wedge \theta,</math>

其中<math>\alpha, \beta, \theta \in \Lambda (V)</math>都是任意的。

以前两条性质为例，其证明如下：设张量<math>a, b, t \in T(V)</math>分别是<math>\alpha, \beta, \theta</math>中的代表元，即<math>\alpha = [a]</math>, <math>\beta = [b]</math>, <math>\theta = [t]</math>, 则

<math>(\alpha \wedge \beta) \wedge \theta = ([a] \wedge [b]) \wedge [t] = [a \otimes b] \wedge [t] = [(a \otimes b) \otimes t] = [a \otimes (b \otimes t)] = [a] \wedge [b \otimes t] = [a] \wedge ([b] \wedge [t]) = \alpha \wedge (\beta \wedge \theta),</math>

<math>(\alpha + \beta) \wedge \theta = ([a] + [b]) \wedge [t] = [a + b] \wedge [t] = [(a + b) \otimes t]

 = [a \otimes t + b \otimes t] = [a \otimes t] + [b \otimes t] = [a] \wedge [t] + [b] \wedge [t]
 = \alpha \wedge \theta + \beta \wedge \theta.</math>

(5) 根据上面的(3)和(4)，用数学归纳法可以证明：<math>\forall \alpha \in \Lambda^k (V) \, , \, \beta \in \Lambda^l (V) \, ,</math>

<math>\beta \wedge \alpha = (-1)^{kl} \alpha \wedge \beta.</math>

证明从略。

基底和维数

若<math>V</math>的维数是<math>n</math>而<math>\left \{ e_1,\ldots,e_n \right \}</math>是<math>V</math>的基，则集合

<math>\{e_{i_1}\wedge e_{i_2}\wedge\cdots\wedge e_{i_k} \mid 1\le i_1 < i_2 < \cdots < i_k \le n\}</math>

是<math>k</math>阶外幂<math>\land^k(V)</math>的一个基。理由如下：给定任何如下形式的楔积

<math>v_1\wedge\cdots\wedge v_k</math>

则每个向量<math>v_j</math>可以记为基向量<math>e_i</math>的一个线性组合；利用楔积的双线性性质，这可以扩张为那些基向量的楔积的线性组合。任何出现同样基向量两次的楔积为0；任何基向量出现的次序不正确的可以重新排序，在交换任何两个基向量的时候变换符号。一般来讲，最后基<math>k</math>-向量前的系数可以用通过积<math>e_i</math>来描述<math>v_j</math>的矩阵的子式来计算。

数一下基元素，我们可以看到<math>\land^k(V)</math>的维数是n 取 k。特别的有， <math>\land^k(V)=\left \{ 0 \right \}</math>对于<math>k>n</math>.

外代数是一个分级代数，是如下直和

<math>\Lambda(V) = \Lambda^0(V)\oplus \Lambda^1(V) \oplus \Lambda^2(V) \oplus \cdots \oplus \Lambda^n(V)</math>

其维数等于二项式系数之和，也就是<math>2^n</math>.

例子: 欧氏三维空间的外代数

考虑空间<math>\mathbb{R}^3</math>，其基为<math>\left \{ i,j,k \right \}</math>。一对向量

<math> \mathbf{u} = u_1 \mathbf{i} + u_2 \mathbf{j} + u_3 \mathbf{k} </math>

<math> \mathbf{v} = v_1 \mathbf{i} + v_2 \mathbf{j} + v_3 \mathbf{k} </math>

的楔积为

<math> \mathbf{u} \wedge \mathbf{v} = (u_1 v_2 - u_2 v_1) (\mathbf{i} \wedge \mathbf{j}) + (u_1 v_3 - u_3 v_1) (\mathbf{i} \wedge \mathbf{k}) + (u_2 v_3 - u_3 v_2) (\mathbf{j} \wedge \mathbf{k}) </math>

其中<math>\left \{ i\land j,i\land k,j\land k \right \}</math>是三维空间<math>\land^2\left ( \mathbb{R}^3 \right )</math>的基底。

再加一个向量

<math> \mathbf{w} = w_1 \mathbf{i} + w_2 \mathbf{j} + w_3 \mathbf{k} </math>,

这三个向量的楔积是

<math> \mathbf{u} \wedge \mathbf{v} \wedge \mathbf{w} = (u_1 v_2 w_3 + u_2 v_3 w_1 + u_3 v_1 w_2 - u_1 v_3 w_2 - u_2 v_1 w_3 - u_3 v_2 w_1) (\mathbf{i} \wedge \mathbf{j} \wedge \mathbf{k}) </math>

其中<math>i\land j\land k</math>是一维空间<math>\land^3\left ( \mathbb{R}^3 \right )</math>的基底。

空间<math>\land^1\left ( \mathbb{R}^3 \right )</math>是<math>\mathbb{R}^3</math>, 而空间<math>\land^0\left ( \mathbb{R}^3 \right )</math>是<math>\mathbb{R}</math>。取所有四个子空间的直和得到一个向量空间<math>\land\left ( \mathbb{R}^3 \right )</math>，这是八维向量空间

<math> \mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6, a_7, a_8) := (a_1, a_2 \mathbf{i} + a_3 \mathbf{j} + a_4 \mathbf{k}, a_5 \mathbf{i} \wedge \mathbf{j} + a_6 \mathbf{i} \wedge \mathbf{k} + a_7 \mathbf{j} \wedge \mathbf{k}, a_8 \mathbf{i} \wedge \mathbf{j} \wedge \mathbf{k}) </math>.

那么，给定一对8维向量<math>a</math>和<math>b</math>, 其中<math>a</math>如上给出，而

<math> \mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3, b_4, b_5, b_6, b_7, b_8) </math>,

<math>a</math>和<math>b</math>的楔积如下(用列向量表达),

<math> \mathbf{a} \wedge \mathbf{b} = \begin{pmatrix} a_1 b_1 \\ a_1 b_2 + a_2 b_1 \\ a_1 b_3 + a_3 b_1 \\ a_1 b_4 + a_4 b_1 \\

a_1 b_5 + a_5 b_1 + a_2 b_3 - a_3 b_2 \\ a_1 b_6 + a_6 b_1 + a_2 b_4 - a_4 b_2 \\ a_1 b_7 + a_7 b_1 + a_3 b_4 - a_4 b_3 \\ a_1 b_8 + a_8 b_1 + a_2 b_7 + a_7 b_2 - a_3 b_6 - a_6 b_3 + a_4 b_5 + a_5 b_4 \end{pmatrix} </math>.

容易验证8维楔积以向量<math>\left ( 1,0,0,0,0,0,0,0 \right )</math>为乘法幺元。也可以验证该<math>\land\left ( \mathbb{R}^3 \right )</math>代数的楔积是结合的(也是双线性的):

<math> (\mathbf{a} \wedge \mathbf{b}) \wedge \mathbf{c} = \mathbf{a} \wedge (\mathbf{b} \wedge \mathbf{c}) \qquad \qquad \forall \, \mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c} \isin \Lambda (\mathbf{R}^3),</math>

所以该代数是有单位且结合的。

叉乘的实质，赝向量与赝标量

对三维欧几里得空间<math>E^3</math>可以建立一个线性同构<math>\phi: \Lambda^2(E^3) \rightarrow E^3</math>如下：任取<math>E^3</math>的右手的标准正交基<math>\boldsymbol{i}</math>，<math>\boldsymbol{j}</math>，<math>\boldsymbol{k}</math>，规定<math>\phi</math>把<math>\boldsymbol{i} \wedge \mathbf{j}</math>，<math>\boldsymbol{j} \wedge \boldsymbol{k}</math>，<math>\boldsymbol{k} \wedge \boldsymbol{i}</math>分别映射为<math>\boldsymbol{k}</math>，<math>\boldsymbol{i}</math>，<math>\boldsymbol{j}</math>，则<math>\phi</math>的定义与右手的标准正交基如何选取无关。

不难看出，对任意向量<math>\boldsymbol{u}</math>和<math>\boldsymbol{v}</math>，这个线性同构把<math>\boldsymbol{u} \wedge \boldsymbol{v}</math>映射为<math>\boldsymbol{u} \times \boldsymbol{v}</math>。这就是叉乘（向量积）的实质。例如，<math>E^3</math>中平行四边形<math>ABCD</math>的面积向量可以表示为<math>\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AD}</math>. 经过推广之后，高维黎曼流形<math>(M, \mathbf{g})</math>中的紧的二维曲面<math>\Sigma</math>的面积则可以用

<math>

 \int_\Sigma \sqrt{h} \, du^1 \wedge du^2 \, , \qquad 
 h = \left|\begin{array}{cc}
     h_{11} & h_{12} \\
     h_{21} & h_{22}
   \end{array}\right| \, ,

</math>

来计算（其中<math>h_{ab}</math>是度规张量场<math>\mathbf{g}</math>在<math>\Sigma</math>上的诱导度规 <math>

 \mathbf{h} = h_{ab} \, du^a \otimes du^b

</math> 的坐标分量），由此可以看到外积和叉乘的深刻关系。

在物理学中，向量（极向量）与赝向量（轴向量）两个概念经常需要加以区分。从根本上说，向量是<math>E^3</math>中的元素，所以在空间反演变换下不会改变方向；而赝向量其实是<math>\Lambda^2 (E^3)</math>中的元素，故在空间反演变换下会改变方向。

类似地，借助于右手的标准正交基，可以把<math>\Lambda^3 (E^3)</math>中的元素<math>a \, \boldsymbol{i} \wedge \boldsymbol{j} \wedge \boldsymbol{k}</math>映射为“标量"<math>a \in \mathbb{R} = \Lambda^0 (E^3)</math>。但是，在空间反演变换下它就会原形毕露，所以称它为赝标量。真正的标量在空间反演下是不变的，而赝标量在空间反演下会改变符号。

把 2-向量<math>\boldsymbol{u} \wedge \boldsymbol{v}</math>映射为向量<math>\boldsymbol{u} \times \boldsymbol{v}</math>以及把 3-向量<math>a \, \boldsymbol{i} \wedge \boldsymbol{j} \wedge \boldsymbol{k}</math>映射为一个实数<math>a</math>的映射实际上是一个叫做霍奇对偶的线性映射。

泛性质及构造

令<math>V</math>为一个域<math>K</math>（在多数应用中，也就是实数域）上的向量空间。<math>\land(V)</math>是“最一般”的包含<math>V</math>的并有一个交替乘法在<math>V</math>上由单位的结合<math>K</math>-代数这个事实可以用如下的泛性质形式化的表达：

任给一个有单位的结合 <math>K</math>-代数<math>A</math>和一个<math>K</math>-线性映射<math>j:V\rightarrow A</math>使得<math>j(v)j(v)=0</math>对于每个<math>v</math>属于<math>V</math>成立，则存在恰好一个由单位的代数同态<math>f:\land(V)\rightarrow A</math>使得<math>f(v)=j(v)</math>所有<math>v</math>属于<math>V</math>成立。

外代数的泛性质

外代数的泛性质

要构造最一般的包含<math>V</math>的代数，而且其乘法是在<math>V</math>上交替的，很自然可以从包含<math>V</math>的最一般的代数开始，也就是张量代数<math>T(V)</math>，然后通过合适的商来强制交替的性质。这样我们取<math>T(V)</math>中由所有形为<math>v\otimes v</math>的元素生成的双边理想<math>I</math>，其中<math>v</math>属于<math>V</math>，并定义<math>\land(V)</math>为商

<math>\land(V)=T(V)/I</math>

（并且使用<math>\land</math>为<math>\land(V)</math>中的乘法的代号）。然后可以直接证明<math>\land(V)</math>包含<math>V</math>并且满足上述泛性质。

如果不是先定义<math>\land(V)</math>然后把外幂<math>\land^k(V)</math>等同为特定的子空间，我们也可以先定义空间<math>\land^k(V)</math>然后把它们合并成为一个代数<math>\land(V)</math>。这个方法在微分集合中常常用到，并在下节中有描述。

反对称算子和外幂

给定两个向量空间<math>V</math>和<math>X</math>，一个从<math>V^k</math>到<math>X</math>的反对称算子是一个多线性映射

<math>f:V^k\rightarrow X</math>

使得只要<math>v_1,\ldots,v_k</math>是<math>V</math>中线性相关的向量，则

<math>f\left ( v_1,\ldots,v_k \right )=0</math>.

最著名的例子是行列式值，从<math>(K^n)^n</math>到<math>K</math>的反对称线形算子。

映射

<math>w:V^k\rightarrow \land^k(V)</math>

它关联<math>V</math>中的<math>k</math>个向量到他们的楔积，也就是它们相应的<math>k</math>-向量，这也是反对称的。事实上，这个映射是定义在<math>V^k</math>上的“最一般”的反对称算子：给定任何其它反对称算子<math>f:V^k\rightarrow X</math>，存在一个唯一的线性映射<math>\varphi:\land^k(V)\rightarrow X\mathrm{with}f=\varphi\circ w</math>。这个泛性质表述了空间<math>\land^k(V)</math>并且可以作为它的定义。

所有从<math>V^k</math>到基域<math>K</math>的反对称映射组成一个向量空间，因为两个这样的映射的和、或者这样一个映射和一个标量的乘积也是反对称的。若<math>V</math>是有限维的，维数<math>n</math>，则该空间可以认同为<math>\land^k(V^*)</math>，其中<math>V^*</math>表示<math>V</math>的对偶空间。特别的有，从<math>V^k</math>到<math>K</math>的反对称映射的空间是<math>n</math>取<math>k</math>维的。

在这个等同关系下，若基域是<math>R</math>或者<math>C</math>，楔积有一个具体的形式：它从两个给定的反对称映射得到一个新的反对称映射。设<math>\omega:V^k\rightarrow K</math>和<math>\eta:V^m\rightarrow K</math>为两个反对称映射。和在多线性映射的张量积的情况一样，楔积的变量数是每个映射的变量数之和。它定义如下：

<math>\omega\wedge\eta=\frac{(k+m)!}{k!\,m!}{\rm Alt}(\omega\otimes\eta)</math>

其中多线性映射的交替<math>\mathrm{Alt}</math>定义为其变量的所有排列的带符号平均：

<math>{\rm Alt}(\omega)(x_1,\ldots,x_k)=\frac{1}{k!}\sum_{\sigma\in S_k}{\rm sgn}(\sigma)\,\omega(x_{\sigma(1)},\ldots,x_{\sigma(k)})</math>

注意： 有一些书中楔积定义为

<math>\omega\wedge\eta={\rm Alt}(\omega\otimes\eta)</math>

指标记法

在主要由物理学家使用的指标记法中有：

<math>(\omega\wedge\eta)_{a_1 \cdots a_{k+m}}=\frac{1}{k!m!}\epsilon_{a_1 \cdots a_{k+m}}^{b_1 \cdots b_k c_1 \cdots c_m} \omega_{b_1 \cdots b_k} \eta_{c_1 \cdots c_m}</math>

微分形式

令<math>M</math>为一个微分流形。一个微分k-形式<math>\omega</math>是<math>\land^kT^*M</math>（<math>M</math>的余切丛的<math>k</math>阶外幂）的一个截面。等价的有：<math>\omega</math>是<math>M</math>的光滑函数，对于<math>M</math>的每个点<math>x</math>给定一个<math>\land^k\left ( T_xM \right )^*</math>的元素。大致来讲，微分形式是余切向量的全局版本。微分形式是微分几何的重要工具，其中，它们被用于定义德拉姆上同调和亚历山大-斯潘尼尔上同调。

推广

给定一个交换环<math>R</math>和一个<math>R</math>-模<math>M</math>，我们可以定义和上文一样的外代数<math>\land(M)</math>，它是张量代数<math>T(M)</math>适当的商。它会满足类似的泛性质。

物理应用

格拉斯曼代数在物理中有重要应用，它们被用于建模和费米子和超对称性相关的各种概念。

参看：超空间，超代数，超群

相关课题

• 多线性代数
• 张量代数
• 对称代数
• 克利福德代数