方根
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在数学中，一数<math>b</math>为数<math>a</math>的<math>n</math>次方根，则<math>b^n=a</math>。在提及实数<math>a</math>的<math>n</math>次方根的时候，若指的是此数的主<math>n</math>次方根，则可以用根号（<math>\sqrt{\color{white} t}</math>）表示成<math>\sqrt[n]{a}</math>。例如：1024的主10次方根为2，就可以记作<math>\sqrt[10]{1024}=2</math>。当<math>n=2</math>时，则<math>n</math>可以省略。定义实数<math>a</math>的主<math>n</math>次方根为<math>a</math>的<math>n</math>次方根，且具有与<math>a</math>相同的正负号的唯一实数<math>b</math>。在<math>n</math>是偶数时，负数没有主<math>n</math>次方根。习惯上，将2次方根叫做平方根，将3次方根叫做立方根。
方根也是幂的分数指数，即数<math>b</math>为数<math>a</math>的<math>\frac{1}{n}</math>次方：
- <math>b=\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}</math>
符号史[编辑]
最早的根号“√”源于字母“r”的变形（出自拉丁语latus的首字母，表示“边长”），没有线括号（即被开方数上的横线），后来数学家笛卡尔给其加上线括号，但与前面的方根符号是分开的，因此在复杂的式子显得很乱。直至18世纪中叶，数学家卢贝将前面的方根符号与线括号一笔写成，并将根指数写在根号的左上角，以表示高次方根（当根指数为2时，省略不写。）。形成了现在所熟悉的开方运算符号<math>\sqrt{\color{white} x}</math>。
考虑在计算机中的输入问题，有时也可以使用sqrt(a,b)来表示a的b次方根。
基本运算[编辑]
带有根号的运算可由如下公式推导而得:
- <math>
\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \sqrt[n]{b} \qquad a \ge 0, b \ge 0 </math>
- <math>\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} \qquad a \ge 0, b > 0</math>
- <math>
\sqrt[n]{a^m} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m = \left(a^{\frac{1}{n}}\right)^m = a^{\frac{m}{n}}, </math>
这里的a和b是正数。
对于所有的非零复数<math>a</math>，有<math>n</math>个不同的复数<math>b</math>使得<math>b^n=a</math>，所以符号<math>\sqrt[n]{a}</math>就会出现歧义（通常这样写是取<math>n</math>个值当中主幅角最小的）。<math>n</math>次单位根是特别重要的。
当一个数从根号形式变换到幂形式，幂的规则仍适用（即使对分数幂），也就是
- <math>a^m a^n = a^{m+n}</math>
- <math>\left({\frac{a}{b}}\right)^m = \frac{a^m}{b^m}</math>
- <math>\left(a^m\right)^n = a^{mn}</math>
例如:
- <math>\sqrt[3]{a^5}\sqrt[5]{a^4} = a^{\frac{5}{3}} a^{\frac{4}{5}} = a^{\frac{5}{3} + \frac{4}{5}} = a^{\frac{37}{15}}</math>
- <math>\sqrt[3]{a^5} = \sqrt[3]{aaaaa} = \sqrt[3]{a^3a^2} = a\sqrt[3]{a^2}</math>
若已可以简化根式表示式，则加法和减法就只是群的“同类项”问题。
例如
- <math>\sqrt[3]{a^5}+\sqrt[3]{a^8}</math>
- <math>=\sqrt[3]{a^3a^2}+\sqrt[3]{a^6 a^2}</math>
- <math>=a\sqrt[3]{a^2}+a^2\sqrt[3]{a^2}</math>
- <math>=({a+a^2})\sqrt[3]{a^2}</math>
不尽根数[编辑]
未经化简的根数，一般叫做“不尽根数”（surd），可以处理为更简单的形式。
如下恒等式是处理不尽根数的基本技巧:
- <math>\sqrt{a^2 b} = abs(a) \sqrt{b}</math>
- <math>\sqrt[n]{a^m b} = a^{\frac{m}{n}}\sqrt[n]{b}</math>
- <math>\sqrt{a} \sqrt{b} = \sqrt{ab}</math>
- <math>\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^{-1} = \frac{1}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})} = \frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})} = \frac{\sqrt{a}- \sqrt{b}} {a - b}</math>
无穷级数[编辑]
- <math>\begin{align}
&(1+x)^\frac{s}{t} = \sum_{n=0}^\infty \frac{\displaystyle\prod_{k=0}^n (s+t-kt)}{(s+t)n!t^n}x^n\\ &(|x|<1) \end{align}</math>
找到所有的方根[编辑]
任何数的所有的根，实数或复数的，可以通过简单的算法找到。这个数应当首先被写为如下形式<math>ae^{i\varphi}</math>(参见欧拉公式)。接着所有的n次方根给出为:
- <math>e^{(\frac{\varphi+2k\pi}{n})i} \times \sqrt[n]{a}</math>
对于<math>k=0,1,2,\ldots,n-1</math>，这里的<math>\sqrt[n]{a}</math>表示<math>a</math>的主<math>n</math>次方根。
正实数[编辑]
所有<math>x^n=a</math>或<math>a</math>的<math>n</math>次方根，这里的<math>a</math>是正实数，的复数解由如下简单等式给出:
- <math>e^{2\pi i \frac{k}{n}} \times \sqrt[n]{a}</math>
对于<math>k=0,1,2,\ldots,n-1</math>，这里的<math>\sqrt[n]{a}</math>表示<math>a</math>的主<math>n</math>次方根。
解多项式[编辑]
曾经有数学猜想，认为多项式的所有根可以用根号和四则运算来表达；但是阿贝尔-鲁菲尼定理断言了这不是普遍为真的。例如，方程
- <math>\ x^5=x+1</math>
的解不能用根号表达。
要解任何n次方程，参见求根算法。
算法[编辑]
对于正数<math>A</math>，可以通过以下算法求得<math>\sqrt[n]{A}</math>的值：
- 猜一个<math>\sqrt[n]{A}</math>的近似值，将其作为初始值<math>x_0</math>
- 设 <math>x_{k+1} = \frac{1}{n} \left[{(n-1)x_k +\frac{A}{x_k^{n-1}}}\right]</math>。记误差为<math>\Delta x_k = \frac{1}{n} \left[{\frac{A}{x_k^{n-1}}} - x_k\right]</math>，即<math>x_{k+1} = x_{k} + \Delta x_k</math>。
- 重复步骤2，直至绝对误差足够小，即：<math>| \Delta x_k | < \epsilon</math>。
从牛顿法导出[编辑]
求<math>\sqrt[n]{A}</math>之值，亦即求方程<math>x^n-A=0</math>的根。
设<math>f(x)=x^n-A</math>，其导函数即<math>f'(x)=nx^{n-1}</math>。
以牛顿法作迭代，便得
- <math>x_{k+1} = x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)}</math>
- <math>= x_k - \frac{x_k^n - A}{n x_k^{n-1}}</math>
- <math>= x_k - \frac{x_k}{n}+\frac{A}{n x_k^{n-1}}</math>
- <math>= \frac{1}{n} \left[{(n-1)x_k +\frac{A}{x_k^{n-1}}}\right]</math>
从牛顿二项式定理导出[编辑]
设<math>x_k</math>为迭代值，<math>y</math>为误差值。
令<math>A=(x_k-y)^n</math>（*），作牛顿二项式展开，取首两项：<math>A\approx x_k^n-n x^{n-1}_k y</math>
调项得<math>y\approx \frac{x_k^n-A}{n x_k^{n-1}}=\frac1n \left(x_k - \frac{A}{x_k^{n-1}}\right)</math>
将以上结果代回（*），得递归公式<math>x_{k+1}=x_k-y=\frac{1}{n} \left[{(n-1)x_k +\frac{A}{x_k^{n-1}}}\right]</math>
