Ext函子

在同調代數中，Ext 函子是 Hom 函子的導函子。此函子首見於代數拓撲，但其應用遍佈許多領域。

定義

設 <math>\mathcal{C}</math> 為有充足內射元的阿貝爾範疇，例如一個環 <math>R</math> 上的左模範疇 <math>R-\mathbf{Mod}</math>。固定一對象 <math>A</math>，定義函子 <math>T_A(-) := \mathrm{Hom}_\mathcal{C}(A,-)</math>，此為左正合函子，故存在右導函子 <math>R^\bullet T_A(-)</math>，記為 <math>\mathrm{Ext}_\mathcal{C}^\bullet(A,-)</math>。當 <math>\mathcal{C}=R-\mathbf{Mod}</math> 時，常記之為 <math>\mathrm{Ext}_R^\bullet(A,-)</math>。

根據定義，取 <math>B</math> 的內射分解

<math>J(B)\longleftarrow B\longleftarrow 0 </math>

並取 <math>\mathrm{Hom}_\mathcal{C}(A,-)</math>，得到

<math>\mathrm{Hom}_\mathcal{C}(A,J(B))\longleftarrow \mathrm{Hom}_\mathcal{C}(A,B) \longleftarrow 0</math>

去掉首項 <math>\mathrm{Hom}_\mathcal{C}(A,B)</math>，最後取上同調群，便得到 <math>\mathrm{Ext}_\mathcal{C}^\bullet(A,B)</math>。

另一方面，若 <math>\mathcal{C}</math> 中也有充足射影元（例如 <math>R-\mathbf{Mod}</math>），則可考慮右正合函子 <math>G_B(-) := \mathrm{Hom}_\mathcal{C}(-,B)</math> 及其左導函子 <math>L_\bullet G_B(-)</math>，可證明存在自然同構 <math>L_\bullet G_B(A) = \mathrm{Ext}^\bullet_\mathcal{C}(A,B)</math>。換言之，對 <math>A</math> 取射影分解：

<math>P(A) \longrightarrow A \longrightarrow 0</math>

並取 <math>\mathrm{Hom}_\mathcal{C}(-,B)</math>，得到

<math>\mathrm{Hom}_\mathcal{C}(P(A), B) \longrightarrow \mathrm{Hom}_\mathcal{C}(A,B) \longrightarrow 0</math>

去掉尾項 <math>\mathrm{Hom}_\mathcal{C}(A,B)</math>，其同調群同構於 <math>\mathrm{Ext}^\bullet_\mathcal{C}(A,B)</math>。

基本性質

• 若 <math>A</math> 是射影對象或 <math>B</math> 是內射對象，則對所有 <math>i>0</math> 有 <math>\mathrm{Ext}^i_\mathcal{C}(A,B) = 0</math>。
• 反之，若 <math>\mathrm{Ext}^1_\mathcal{C}(A,-)=0</math>，則 <math>A</math> 是射影對象。若 <math>\mathrm{Ext}^1_\mathcal{C}(-,B)=0</math>，則 <math>B</math> 是內射對象。
• <math>\mathrm{Ext}^\bullet_\mathcal{C}(\bigoplus_i A_i, B) = \coprod_i \mathrm{Ext}^\bullet_\mathcal{C}(A_i, B)</math>
• <math>\mathrm{Ext}^\bullet_\mathcal{C}(A, \prod_j B_j) = \prod_j \mathrm{Ext}^\bullet_\mathcal{C}(A, B_j)</math>
• 根據導函子性質，對每個短正合序列 <math>0 \to B' \to B \to B \to 0</math>，有長正合序列：

<math>\cdots \to \mathrm{Ext}^{n-1}_\mathcal{C}(A, B) \to \mathrm{Ext}^n_\mathcal{C}(A, B') \to \mathrm{Ext}^n_\mathcal{C}(A, B) \to \mathrm{Ext}^n_\mathcal{C}(A, B) \to \mathrm{Ext}^{n+1}_\mathcal{C}(A, B) \to \cdots</math>

• 承上，若 <math>\mathcal{C}</math> 有充足的射影元，則對第一個變數也有長正合序列；換言之，對每個短正合序列 <math> 0 \to A' \to A \to A \to 0</math>，有長正合序列

<math>\cdots \to \mathrm{Ext}^{n-1}_\mathcal{C}(A', B) \to \mathrm{Ext}^n_\mathcal{C}(A, B) \to \mathrm{Ext}^n_\mathcal{C}(A, B) \to \mathrm{Ext}^n_\mathcal{C}(A', B) \to \mathrm{Ext}^{n+1}_\mathcal{C}(A, B) \to \cdots</math>

譜序列

今設 <math>A,B</math> 為含單位元的環，並固定一環同態 <math>A \to B</math>。則由雙函子的自然同構

<math>\mathrm{Hom}_B(-, \mathrm{Hom}_A(B,-)) \simeq \mathrm{Hom}_A(-, -)</math>

導出格羅滕迪克譜序列：對每個 <math>B</math>-模 <math>M</math> 及 <math>A</math>-模 <math>N</math>，有譜序列

<math>E_2^{pq} = \mathrm{Ext}_B^p(M, \mathrm{Ext}^q_A(B, N)) \Rightarrow \mathrm{Ext}_A^{p+q}(M, N)</math>

這個關係稱為換底。

Ext函子與擴張

Ext 函子得名於它與群擴張的聯繫。抽象地說，給定兩個對象 <math>A, B \in \mathcal{C}</math>，在擴張

<math>0\rightarrow B\rightarrow C\rightarrow A\rightarrow 0</math>

的等價類與 <math>\mathrm{Ext}_\mathcal{C}^1(A,B)</math> 之間有一一對應，下將詳述。

對任兩個擴張

<math>0\rightarrow B\rightarrow C\rightarrow A\rightarrow 0</math> 與

<math>0\rightarrow B\rightarrow C'\rightarrow A\rightarrow 0</math>

可以構造其 Baer 和 為 <math>0 \rightarrow B \rightarrow C \times_A C' / \Delta \rightarrow A \rightarrow 0</math>，其中 <math>\Delta := (1,-1)(C \sqcup_B C')</math>（反對角線）。這在等價類上構成一個群運算，可證明此群自然地同構於 <math>\mathrm{Ext}^1_\mathcal{C}(A,B)</math>。

對更高階的擴張，同樣可定義等價類；對任兩個 n-擴張（n>1）

<math>0\rightarrow B\rightarrow X_n\rightarrow\cdots\rightarrow X_1\rightarrow A\rightarrow 0</math> 與

<math>0\rightarrow B\rightarrow X'_n\rightarrow\cdots\rightarrow X'_1\rightarrow A\rightarrow 0</math>

此時的 Baer 和定為

<math>0 \rightarrow B \rightarrow Y_n\rightarrow X_{n-1}\oplus X'_{n-1}\rightarrow\cdots\rightarrow X_2\oplus X'_2\rightarrow X_1\rightarrow A\rightarrow 0 </math>

其中 <math>A := X_1 \times_A X_1'/\Delta_1</math>（反對角線 <math>\Delta_1</math> 之定義同上），<math>Y_n := X_n \sqcup_B X_n'</math>。這也在 n-擴張的等價類上構成一個群運算，此群自然同構於 <math>\mathrm{Ext}^n_\mathcal{C}(A,B)</math>。藉此，能在任何阿貝爾範疇上定義 Ext 函子。

重要例子

• 設 <math>G</math> 為群，取環 <math>R :=\Z G</math>，可以得到群上同調：<math>\mathrm{Ext}_{\Z G}^\bullet (\Z, M ) = H^\bullet(G,M)</math>。
• 設 <math>\mathcal{C}</math> 為局部賦環空間 <math>X</math> 上的 <math>\mathcal{O}_X</math>-模範疇，可以得到層上同調：<math>\mathrm{Ext}_\mathcal{C}^\bullet(\mathcal{O}_X, \mathcal{F}) = H^\bullet(X, \mathcal{F})</math>。
• 設 <math>\mathfrak{g}</math> 為李代數，取環 <math>R := U(\mathfrak{g})</math> 為其泛包絡代數，可以得到李代數上同調：<math>\mathrm{Ext}_R^\bullet(R, M) = H^\bullet(\mathfrak{g}, M)</math>。
• 設 <math>k</math> 為域，<math>A</math> 為 <math>k</math>-代數，取環 <math>R := A \times A^\mathrm{op}</math>，<math>A</math> 帶有自然的 <math>R</math>-模結構，此時得到 Hochschild 上同調：<math>\mathrm{Ext}^\bullet_R(A, M) = HH^\bullet(A, M)</math>。

文獻

• Charles A. Weibel, An introduction to homological algebra, Cambridge University Press. ISBN 0-521-55987-1