2i

Template:NoteTA Template:Hatnote Template:Infobox number Template:高斯整数导航 <math>2i</math>是在虚数轴正向距离原点两个单位的纯虚数，属于高斯整数Template:R/superscript，为虚数单位（<math>i</math>）的两倍Template:R/superscript，同时也是负四的平方根Template:R/superscriptTemplate:R/superscript，是方程式<math>x^2+4=0</math>的正虚根Template:R/superscript。日常生活中通常不会用<math>2i</math>来计量事物，例如无法具体地描述何谓<math>2i</math>个人，逻辑上<math>2i</math>个人并没有意义。部分书籍或教科书偶尔会使用<math>2i</math>来做虚数的例子或题目。

在高斯平面上，与<math>2i</math>相邻的高斯整数有<math>i</math>和<math>3i</math>（上下相邻；纯虚数）以及<math>2i-1</math>和<math>2i+1</math>（左右相邻），然而复数不具备有序性，即无法判断<math>2i</math>与<math>3i</math>间的大小关系，因此无法定义<math>i</math>与<math>3i</math>何者为<math>2i</math>的前一个虚数、何者为<math>2i</math>的下一个虚数。

−1+3i	3i	1+3i
−1+2i	2i	1+2i
−1+i	i	1+i
与<math>2i</math>相邻的高斯整数示意图

性质

• <math>2i</math>不属于实数，是纯虚数，同时也是复数，位于复数平面。Template:来源范围，其也能表达为<math>2e^{i\pi/2}</math>Template:R/superscript或<math>2\left(\cos{\frac{\pi}{2}}+i\sin{\frac{\pi}{2}}\right)</math>。
• <math>2i</math>是高斯整数，Template:来源范围，其中，1+i为2i的高斯质因数。Template:R/superscriptTemplate:R/superscript
• 所有的复数皆可以表达为<math>2i</math>之幂的线性组合。换句话说若进位制以<math>2i</math>为底数，则可独一无二地表示全体复数。该进制称为2i进制，由高德纳于1955年发现。
• 复数的虚数部可以定义为复数与其共轭复数之差除以<math>2i</math>的商，换言之，则<math>z-z^*=2i\,Im(z)</math>。Template:R/superscript

  <math>Im(z)=\frac{z-z^*}{2i}</math>

• 正弦函数可以定义为纯虚指数函数与其倒数之差除以<math>2i</math>的商。Template:R/superscriptTemplate:R/superscript

  <math>\sin(z)=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}</math>

• <math>2i</math>等于最小的质数和虚数单位的积，即<math>p_{_1}\times i = 2i</math>，其中<math>p_n</math>为第<math>n</math>个质数。
• 虚数单位和虚数单位的倒数相差<math>2i</math>。
• 任意数与<math>2i</math>相乘的意义为模放大两倍并在复平面上以原点为中心逆时针旋转90度。Template:R/superscriptTemplate:R/superscript

2i的幂

<math>2i</math>的前几次幂为1、 2i、 −4、 −8i、 16、 32i、 −64...，其会在实部和虚部交错变换，其单位会在1、i、−1、−i中变化。其中，实数项为−4的幂 ，虚数的正值项为16的幂的2倍 、虚数的负值项为16的幂的−8倍，因此这种特性使得<math>2i</math>作为底数可以不将复数表达为实部与虚部就能表示全体复数，并且有研究以此特性设计复数运算电路。

2i的平方根

<math>2i</math>的平方根正好是实数单位与虚数单位的和，即<math>\sqrt{2i}=1+i</math>Template:R/superscript，反过来说<math>2i</math>正好是实数单位与虚数单位相加的平方，<math>(1+i)^{2}=2i</math>Template:R/superscript。若考虑平方根的正负，则1+i和−1−i都是<math>2i</math>的平方根。

相关数字

−2i

<math>-2i</math>是<math>2i</math>的相反数，其平方根曾提议作为复数进位制的底数。<math>-2i</math>的绝对值为2而非2iTemplate:R/superscript。此外，<math>-2i</math>也是负四的平方根。

1+i

<math>1+i</math>是<math>2i</math>的平方根，同时也是高斯质数。由于其幂次为1+i、 2i、 −2+2i、 −4、 −4−4i、 −8i...，在正负、虚实交替变化，因此若作为进位制底数可以表达全体复数。但其组合变化相较于<math>-1+i</math>为底数的进位制，<math>-1+i</math>做为底数更为适合。Template:Invisible anchor

−1+i

File:ComplexTwindragon.svg

在−1+i进位制系统中整数部分全为零的复数

<math>-1+i</math>是<math>-2i</math>的平方根，也是高斯质数。其距离原点<math>\sqrt 2</math>单位，辐角为135度（<math>\frac{3\pi}4</math>弧度），实部为负一、虚部为1。由于其幂次为−1+i、 −2i、 2+2i、 −4、 4−4i、 8i...，在正负、虚实交替变化，因此可以构建以<math>-1+i</math>为底数并用1和0表达复数的进位制。其他复数虽然也可以，Template:Invisible anchor

除了<math>-1+i</math>外，其他<math>-n+i</math>形式的复数也能作为进位制底数，但其在表达数的范围不同，以<math>-1+i</math>为例，其表达的范围较为均匀，而<math>-2+i</math>、<math>-3+i</math>等则会越来越狭长。而底数<math>2+i</math>则需要非自然数的位数来表示。

−1+i进制与相关进制比较

十进制	二进制	2i进制	−1+i进制	−2+i进制
0
1
2
−1
−2
i	i
2i	i
3i	i
−i	−i
−2i	i
−3i	i
1+i	1+i
1−i	1−i
−1+i	−1+i
−1−i	−1−i
2+i	+i
2−i	−i
−2+i	+i
−2−i	−i

相邻的高斯整数

−1+3i	3i	1+3i
−1+2i	2i	1+2i
−1+i	i	1+i
与<math>2i</math>相邻的高斯整数示意图

3i

Template:HatnoteTemplate:If either <math>3i</math>是在虚数轴正向距离原点3个单位的纯虚数，是虚数单位的三倍，同时也是负九（−9）的平方根，与纯虚数2i和4i相邻、并与高斯整数−1+3i和1+3i相邻。

<math>3i</math>的为虚数单位与质数3的乘积，其中，3也是高斯质数，因此<math>3i</math>的高斯整数分解为Template:质因数分解。

−1+2i

<math>-1+2i</math>是在虚数轴正向距离原点<math>\sqrt{5}</math>个单位的高斯整数，其实部为负一、虚部为2i，与纯虚数2i相邻、并与高斯整数−1+3i、−1+i和−2+2i相邻。<math>-1+2i</math>是高斯质数。

1+2i

<math>1+2i</math>是高斯质数 ，在虚数轴正向距离原点<math>\sqrt{5}</math>个单位，其实部为一、虚部为2i，为方程式<math> x ^ 2 - 2x + 5 = 0</math>的其中一根，与纯虚数2i相邻、并与高斯整数1+3i、1+i和3+2i相邻。

参见

• 虚数单位
• -2