率
率[1][2]（rate）或變率（rate of change）、變化率，是一個變量（應變量）相對於另一個不同單位（量綱）變量（自變量或時間）發生變化的快慢程度。但是，除了上述精確的科學定義外，也可見到廣義的「率」，其含蓋兩相同單位變量的比值。
就數學而言，率是兩個不同單位相關量相除的商，即一個量相對於另一不同單位量的變化[註 1]，也是二維平面直角坐標系中，某一元實值函數圖像上某點切線的斜率或該點的導數。如果該率中的除數（或分母）等於一個單位，且假設該作為除數的量可以系統地改變（即作為自變量），那麼該率中的被除數（或分子）就表達了另一數（應變量）相應的變化率。在某些情況下，率可被視為一個數值隨另一個數值的變化而引起的變化。
- 以時間作為除數的率，是最常見的一種率，即「每單位時間」的某量變化，或「單位時間內」某物理量的變化量，稱為隨時間的變化率（rate of change with respect to time），簡稱時間變化率（time rate of change）、時變率（temporal rate），其數學本質即該量對時間的導數或時間導數（time derivative）。例如：速率、心率都是時變率。速率是物體的移動距離相對於時間的變化量，以每單位時間的移動距離來表示；心跳率是每分鐘的心跳次數。
- 以非時間作為除數的率，則包括了電容率、磁導率、匯率等等。日常應用的例子如：匯率是兩經濟體貨幣的兌換率（具有兩種不同貨幣單位）。
近代科學定義下的「ratio」（比）和「rate」（率），是兩個相似卻在用法上有所區分的概念。但是不論漢語的「比」和「率」，或是英語的「ratio」和「rate」，都由於漫長的歷史因素並未以科學精確區分，偶有混用，造成了有時不符合定義的稱呼。漢語中，例如稱作「率」的圓周率、分率、打擊率，嚴謹來說，是一種「比」[3]。另一漢語詞彙「比率」，在使用上也顯含糊，通常用來代表兩個同單位數量的比或比值（比的值），但也常用以表示率。英語中，例如稱作「rate」的 tax rate、literacy rate、mortality rate 等，其實是一種「ratio」。
變化量與變化率[編輯]
變化量（amount of change）或增量（increment），口語簡稱「變化」，是某物理量（或變量 y）在某一過程結束時的終態值與開始時的初態值之差，使用符號Δ。例如：「變量 <math>y</math> 的變化量」是 <math>y</math>₂ - <math>y</math>₁ ，記作 Δ<math>y</math> 。變化量不同於變化率，後者是兩變化量的商。
平均率與瞬時率[編輯]
根據觀察的時間尺度不同，分為以下兩種變化率：
- 平均變化率（average rate of change）、平均率：在一個特定時間區間內，應變量相對於自變量的平均變化快慢。例如：開車從A點到B點的平均時速。
- 瞬時變化率（instantaneous rate of change）、瞬時率：在某一特定瞬間，應變量相對於自變量的實時變化快慢。亦即微積分中時間導數的定義。例如：開車中的某時刻，儀錶盤上顯示的瞬時時速。
物理學中的率[編輯]
在物理學中，當我們提到率（rate）或變化率（rate of change）時，通常是指某物理量在單位時間內的變化量，以此概念為基礎，可以引申出各種物理變化率。然而，在不同的學術領域中，單位相同的變化率可能有不同的用法，因此有不同的名稱與解釋；相對的，基於歷史因素或其它原因，同一個名詞也可能在不同的領域中有相似但是不同的解讀與單位。
流率（flow rate）[編輯]
流率即單位時間內的流量。在流體力學中，流量的單位可以是體積，這稱為體積流率；流量的單位也可以是質量，這稱為質量流率。水文學中的「流量」（英語：discharge）也是一種體積流率，但是它有另外的研究內涵。雖然流率在概念上只與流量和時間有關，但是在測量與計算上，一個可用的定義是流體速度與所通過的表面或截面的內積，亦即流體在單位時間內垂直通過某表面或截面的流量。
通量（flux）[編輯]
從流率可以導出通量，但是通量的確切定義要依照學術領域或是討論對象來決定。
在流體力學中，通量是流體在單位時間內垂直通過單位表面或截面的流量，亦即流率的面積密度，例如，體積通量與質量通量。因此，在已知流體通量的情形下，流率是通量的面積分，而在已知流率與正交面積的情形下，通量即流率與正交面積的比例。
在電磁學中，通量的定義是電場或磁場通過某正交表面或截面的流量（場線的總數，參見電通量與磁通量），這與流率的定義相似，不同的是這裏沒有時間的概念，在數學上則是向量場與正交表面或截面的面積分。場線的面積密度可以用來比較場的強弱：電通量的面積密度稱為「電通密度」，磁通量的面積密度稱為「磁通密度」。
備註[編輯]
參見[編輯]
參考文獻[編輯]
擴展閱讀[編輯]
- "Ratio" The Penny Cyclopædia vol. 19 （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）, The Society for the Diffusion of Useful Knowledge (1841) Charles Knight and Co., London pp. 307ff
- "Proportion" New International Encyclopedia, Vol. 19 2nd ed. (1916) Dodd Mead & Co. pp270-271 （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
- "Ratio and Proportion" Fundamentals of practical mathematics, George Wentworth, David Eugene Smith, Herbert Druery Harper (1922) Ginn and Co. pp. 55ff （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
- The thirteen books of Euclid's Elements, vol 2. trans. Sir Thomas Little Heath (1908). Cambridge Univ. Press. : 112ff [2013-05-14]. （原始內容存檔於2020-08-03）.
- D.E. Smith, History of Mathematics, vol 2 Dover (1958) pp. 477ff
- Development of Multiplicative Reasoning in the Learning of Mathematics, p.189, Ratio vs. Rate （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
