1

File:Disambig gray.svg關於與「1」標題相近或相同的條目，請見「1 (消歧義)」。

1

← 0 1 2 →
數表 — 整數 <<  0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 >> <<   100‍  101‍  102‍  103‍  104‍  105‍  106‍  107‍  108‍  109‍ >>
命名
小寫	一
大寫	壹
序數詞	第一 first
識別
種類	整數
性質
質因數分解	單位元
因數	1
相反數	−1
表示方式
值	1
花碼	一或〡
算籌	File:Counting rod v1.png
希臘數字	Α´
羅馬數字	Ⅰ
一進制	1(1)
二進制	1(2)
八進制	1(8)
十二進制	1(12)
十六進制	1(16)
語言
希臘語前綴	mono-/haplo-
拉丁語前綴	uni-
英語	one
阿拉伯文、 中庫爾德語、 波斯語、 信德語、 印度斯坦語	١
阿薩姆語和孟加拉語	১
漢語	一/弌/壹
天城文	१
吉茲	፩
格魯吉亞語	Ⴀ/ⴀ/ა(Ani)
希伯來語	א
日語	一/壱
卡納達語	೧
高棉數字	១
馬拉雅拉姆語	൧
曼尼普爾語	꯱
泰文	๑
泰米爾語	௧
泰盧固語	೧

高斯整數導航
			↑
			2i
		−1+i	i	1+i
←	−2	−1	0	1	2	→
		−1−i	−i	1−i
			−2i
			↓

1（一）是最小的正整數，也是繼0第二小的自然數。阿拉伯數字「1」的形狀由古蘇美爾和巴比倫符號演變而來。

在數學中，1為乘法單位元，即任何數字與1相乘皆等於其本身。按照慣例，1不被視為素數。在數字電路中，1表示二進制中的「開啟」狀態，是計算技術的基礎。在哲學領域，1在諸多傳統中象徵着終極現實或存在的本源。

在數學上

數字1是0之後之首個自然數。每一自然數，含1，皆由後繼法構造，即於前一自然數加1而成。數字1為整數、實數及複數之乘法單位元，意即任何數字<math>n</math>與1相乘保持其原值不變（<math>1\times n = n\times 1 = n</math>）。因此，正方形（<math>1^2=1</math>）、平方根（<math>\sqrt{1} = 1</math>）、1的任何其他冪始終等於1本身。1是它自己的階乘（<math>1!=1</math>），而1也是0的階乘（這是空積的特例）。儘管1符合素數的定義，即只能被1和它本身（也是1）整除，但按照現代慣例，它既不是素數也不是合數。

自然數的不同數學構造以各種方式表示1。在朱塞佩·皮亞諾最初制定的皮亞諾公理（一組精確且邏輯地定義自然數的公設）中，1被視為自然數序列的起點。皮亞諾後來修訂了他的公理，將序列的起點改為0。在馮·諾伊曼對自然數的基數賦值中，每個數字被定義為包含其之前所有數字的集合，1 被表示為單元素集<math>\{0\}</math>，即僅包含元素0的集合。用於計數的一進制系統是「以1為基數」的系統的一個例子，因為只需要一個標記——計數本身。雖然這是表示自然數的最簡單方法，但由於其可讀性較差，以1為基數很少被用作實際計數的基數。

在許多數學和工程問題中，數值通常會被歸一化，使其落在單位區間([0,1]) 內，其中1表示最大可能值。例如，根據定義，1 表示某個事件絕對或幾乎肯定會發生的概率。同樣，向量通常被歸一化為單位向量（即幅值為1的向量），因為它們通常具有更理想的性質。函數通常會根據其定義域上積分為1、最大值為1或平方積分值為1的條件進行歸一化，具體取決於其應用。

1是勒讓德常數的值。該常數由阿德里安-馬里·勒讓德於1808年提出，用於描述素數計數函數的漸近行為。韋伊關於玉河數的猜想指出，對於所有單連通群（即路徑連通且無「空洞」的群），其玉河數<math>\tau(G)</math>是一個關於定義在全局數域上的連通線性代數群的幾何度量，其值為1。

1是許多現實世界數值數據中最常見的首位數字。這是本福德定律的結果，該定律指出某一特定首位數字<math>d</math>出現的概率為<math display="inline"> \log_{10} \left(\frac{d+1}{d} \right) </math>。現實世界中的數字往往呈指數或對數增長，這使得它們的首位數字分布偏向較小的數字，其中數字1的出現頻率約為30%。

符號和表示

歷史

在語言學上，一是一個基數詞，用於計數或表示一組事物中的數量。在已知最早的數字系統記錄中，包括刻於泥板上的蘇美爾十進六十進制系統，該系統的記載可追溯到公元前第三千年上半葉。在最早期的蘇美爾數字中，表示數字1和60的符號均為橫向的半圓形符號。而到了公元前約2350年，原有的弧形蘇美爾數字已被楔形文字符號所取代，其中數字1和60均以相同的、主要呈垂直方向的符號來表示。

File:Babylonian 1.svg

蘇美爾的楔形文字數字系統是埃布拉語和亞述-巴比倫閃米特語十進制楔形文字系統的直系先祖。現存的巴比倫文獻大多來自古巴比倫（約公元前1500年）和塞琉古（約 公元前300年）兩個時期。在巴比倫楔形文字的數字記法中，數字1和60仍使用與蘇美爾系統相同的符號。

在現代西方世界中，最常用於表示數字1的符號是阿拉伯數字，其形狀通常為一條豎線，上方常帶有襯線，有時底部還帶有一條短橫線。這一符號的起源可以追溯到古印度的婆羅米文，大約公元前250年，阿育王在其《阿育王詔書》中就曾以一條簡單的豎線表示數字1。這種文字體系中的數字形狀在中世紀經由馬格里布和安達盧斯傳入歐洲。阿拉伯數字以及用於表示數字一的其他字形（例如羅馬數字（Ⅰ）、中文數字（一））都是表意文字。它們不依賴語音分解，而是直接表示「一」這個概念。1在原始印歐語詞根*oi-no-（意為「一，獨一無二」）。

現代字體

File:Woodstock typewriter, 1940s, daylight - keyboard.jpg

這台20世紀40年代的伍德斯托克打字機缺少數字1的單獨按鍵。

File:Mediaevalziffern.svg

Hoefler Text是一種於1991年設計的字體，它將數字1表示為類似於小號大寫字母I。

在現代字體中，數字1的字符形狀通常排版為帶上升部的等高數字，以使數字的高度和寬度與大寫字母相同。然而，在帶有文本數字的字體（也稱為舊式數字或非等高數字）中，字形通常為x字高，並設計為遵循小寫字母的節奏，例如Horizontal guidelines with a one fitting within lines, a four extending below guideline, and an eight poking above guideline。在舊式字體（例如，Hoefler Text）中，數字1的字體類似於I的小寫版本，頂部和底部有平行的襯線，而大寫字母I保留了全高形式。這是羅馬數字的遺產，其中Ⅰ代表1。許多老式打字機沒有數字1的專用鍵，需要使用小寫字母L或大寫字母Ⅰ來代替。

Decorative clay/stone circular off-white sundial with bright gold stylized sunburst in center of the 24-hour clock face, one through twelve clockwise on right, and one through twelve again clockwise on left, with J shapes where ones' digits would be expected when numbering the clock hours. Shadow suggests 3 PM toward the lower left.

威尼斯的24小時塔鐘，其使用J代替1。

小寫字母「j」可以被認為是小寫羅馬數字「i」的斜體變體，常用於小寫羅馬數字的最後一個字母「i」。歷史上也曾用j或J代替阿拉伯數字「1」。在德語中，頂部的襯線可以延長成與豎線等長的上劃。這種變化可能會與其他國家/地區表示「7」的字形混淆，因此為了在視覺上區分兩者，數字「7」可以用一條橫線穿過豎線來書寫。

其他領域

在數字電路中，數據通過二進制代碼表示，即採用以2為底的數制，由1和0構成的序列來表示各種數值。數字化數據在物理設備中（如電子計算機）通常以電脈衝的形式體現，通過晶體管或邏輯門等開關器件進行處理，其中「1」代表「開」的狀態。因此，在許多編程語言中，布爾值中的「真」（true）對應的數值就是1。在λ演算和可計算性理論中，自然數通過丘奇數以函數的形式來表示。其中，數字1的丘奇數表示為一個函數<math>f</math>，它對某個參數<math>x</math>應用一次，亦即{{{1}}}。

在物理學中，為了簡化方程的形式，一些自然單位制中會將特定的物理常數設定為1。例如，在普朗克單位制中，光速被定為1。無量綱量也稱為量綱為1的量。在量子力學中，波函數的歸一化條件要求波函數的模平方的積分等於1。在化學中，氫是元素周期表的第一個元素，也是已知宇宙中最豐富的元素，它的原子序數為1。元素周期表的第一族由氫和鹼金屬組成。

在哲學中，數字1通常被視為統一的象徵，在一神論傳統中經常代表上帝或宇宙。畢達哥拉斯學派認為數字是複數，因此不將1本身歸類為數字，而是將其歸類為所有數字的起源。在他們的數字哲學中，奇數被認為是陽性，偶數被認為是陰性，而1被認為是中性的，能夠通過加法將偶數轉化為奇數，反之亦然。在普羅提諾及其他新柏拉圖主義者的哲學中，「一者」（The One）被視為終極的實在，是一切存在的根源。亞歷山大的斐洛則將數字一視為上帝之數，是所有數字的基礎。

書目

• Blokhintsev, D. I. Quantum Mechanics. Springer Science & Business Media. 2012. ISBN 978-9401097116. 
• Caldwell, Chris K.; Xiong, Yeng. What is the smallest prime?. Journal of Integer Sequences (Waterloo, CA: University of Waterloo David R. Cheriton School of Computer Science). 2012, 15 (9, Article 12.9.7): 1–14 [2023-12-16]. MR 3005530. Zbl 1285.11001. arXiv:1209.2007 可免費查閱. （原始內容存檔於2023-12-16）. 
• Chicago, University of. The Chicago Manual of Style 14th. University of Chicago Press. 1993. ISBN 0-226-10389-7. 
• Chrisomalis, Stephen. Numerical Notation: A Comparative History. New York: Cambridge University Press. 2010. ISBN 978-0-521-87818-0. doi:10.1017/CBO9780511676062. 
• Colman, Samuel. Coan, C. Arthur , 編. Nature's Harmonic Unity: A Treatise on Its Relation to Proportional Form. New York and London: G.P. Putnam's Sons. 1912. 
• Crystal, D. A Dictionary of Linguistics and Phonetics 6th. Malden, MA: Wiley-Blackwell. 2008. ISBN 978-0631226642. 
• Conway, John H.; Guy, Richard K. The Book of Numbers. New York: Copernicus Publications. 1996 [2023-12-17]. ISBN 0614971667. doi:10.1007/978-1-4612-4072-3. （原始內容存檔於2024-11-18）. 
• Cullen, Kristin. Layout Workbook: A Real-World Guide to Building Pages in Graphic Design. Gloucester, MA: Rockport Publishers. 2007: 1–240. ISBN 978-1-592-533-527. 
• Emsley, John. Nature's Building Blocks: An A-Z Guide to the Elements illustrated, reprint. Oxford, UK: Oxford University Press. 2001. ISBN 0198503415. 
• Gaitsgory, Dennis; Lurie, Jacob. Weil's Conjecture for Function Fields (Volume I). Annals of Mathematics Studies 199. Princeton: Princeton University Press. 2019: viii, 1–311 [2023-12-16]. ISBN 978-0-691-18213-1. MR 3887650. Zbl 1439.14006. doi:10.2307/j.ctv4v32qc. （原始內容存檔於2024-11-12）. 
• Glick, David; Darby, George; Marmodoro, Anna. The Foundation of Reality: Fundamentality, Space, and Time. Oxford University Press. 2020. ISBN 978-0198831501. 
• Guastello, Stephen J. Human Factors Engineering and Ergonomics: A Systems Approach 3rd. CRC press. 2023. ISBN 978-1000822045. 
• Godbole, Achyut S. Data Comms & Networks. Tata McGraw-Hill Education. 2002. ISBN 978-1-259-08223-8. 
• Graham, Ronald L.; Knuth, Donald E.; Patashnik, Oren. Concrete Mathematics 2. Reading, MA: Addison-Wesley. 1994. ISBN 0-201-14236-8. 
• Halfwassen, Jens. The Metaphysics of the One. Remes, Pauliina; Slaveva-Griffin, Svetla (編). The Routledge Handbook of Neoplatonism. Routledge Handbooks in Philosophy. Abingdon, Oxfordshire and New York: Routledge. 2014. ISBN 9781138573963. 
• Halmos, Paul R. Naive Set Theory. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer. 1974: vii, 1–104. ISBN 0-387-90092-6. MR 0453532. doi:10.1007/978-1-4757-1645-0. 
• Hext, Jan. Programming Structures: Machines and programs 1. Prentice Hall. 1990: 33. ISBN 9780724809400. .
• Hindley, J. Roger; Seldin, Jonathan P. Lambda-Calculus and Combinators: An Introduction 2nd. Cambridge, UK: Cambridge University Press. 2008: xi, 1–358. ISBN 978-1-139-473-248. MR 2435558. 
• Hodges, Andrew. One to Nine: The Inner Life of Numbers. New York, NY: W. W. Norton & Company. 2009: 1–330. ISBN 9780385672665. S2CID 118490841. 
• Huber, Roy A.; Headrick, A. M. Handwriting Identification: Facts and Fundamentals. CRC Press. 1999. ISBN 1420048775. 
• Huddleston, Rodney D.; Pullum, Geoffrey K.; Reynolds, Brett. A student's Introduction to English Grammar 2nd. Cambridge: Cambridge University Press. 2022: 1–418 [2023-12-16]. ISBN 978-1-316-51464-1. OCLC 1255524478. （原始內容存檔於2024-07-12）. 
• Huddleston, Rodney D.; Pullum, Geoffrey K. The Cambridge grammar of the English language. Cambridge, UK; New York: Cambridge University Press. 2002. ISBN 978-0-521-43146-0. 
• Hurford, James R. Grammar: A Student's Guide. Cambridge, UK: Cambridge University Press. 1994: 1–288. ISBN 978-0-521-45627-2. OCLC 29702087. 
• Kennedy, Hubert C. Peano's concept of number. Historia Mathematica. 1974, 1 (4): 387–408. doi:10.1016/0315-0860(74)90031-7. 
• Kottwitz, Robert E. Tamagawa numbers. Annals of Mathematics. 2 (Princeton, NJ: Princeton University & the Institute for Advanced Study). 1988, 127 (3): 629–646. JSTOR 2007007. MR 0942522. doi:10.2307/2007007. 
• McWeeny, Roy. Quantum Mechanics: Principles and Formalism. Dover Books on Physics reprint. Courier Corporation, 2012. 1972. ISBN 0486143805. 
• Miller, Steven J. (編). Benford's law: theory and applications. Princeton, NJ: Princeton University Press. 2015: xxvi, 1–438 [2023-12-16]. ISBN 978-0-691-14761-1. MR 3408774. （原始內容存檔於2024-07-14）. 
• Mills, I. M. Unity as a Unit. Metrologia. 1995, 31 (6): 537–541. Bibcode:1995Metro..31..537M. doi:10.1088/0026-1394/31/6/013. 
• Peano, Giuseppe. Arithmetices principia, nova methodo exposita [The principles of arithmetic, presented by a new method]需要免費註冊. An excerpt of the treatise where Peano first presented his axioms, and recursively defined arithmetical operations. Turin: Fratres Bocca. 1889: xvi, 1–20. JFM 21.0051.02.  含有內容需登入查看的頁面 (link)
• Peano, Giuseppe. Formulario Mathematico [Mathematical Formulary]需要免費註冊 V. Turin: Fratres Bocca. 1908: xxxvi, 1–463. JFM 39.0084.01.  含有內容需登入查看的頁面 (link)
• Pintz, Janos. On Legendre's Prime Number Formula需要付費訂閱. The American Mathematical Monthly. 1980, 87 (9): 733–735. ISSN 0002-9890. JSTOR 2321863. doi:10.2307/2321863.  含有連結內容需訂閱查看的頁面 (link)
• Polt, Richard. The Typewriter Revolution: A Typist's Companion for the 21st Century. The Countryman Press. 2015. ISBN 978-1581575873. 
• Schubring, Gert. Processes of Algebraization. Semiotics in Mathematics Education: Epistemology, History, Classroom, and Culture. By Radford, Luis; Schubring, Gert; Seeger, Falk. . Kaiser, Gabriele (編). Semiotic Perspectives in the Teaching and Learning of Math Series 1. Netherlands: Sense Publishers. 2008. ISBN 978-9087905972. 
• Stewart, Ian. Number Symbolism. Brittanica. 2024 [2024-08-21]. （原始內容存檔於2008-07-26）. 
• Woodford, Chris. Digital Technology. Evans Brothers. 2006 [2016-03-24]. ISBN 978-0-237-52725-9.