方根
| 算術運算 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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在數學中，一數<math>b</math>為數<math>a</math>的<math>n</math>次方根，則<math>b^n=a</math>。在提及實數<math>a</math>的<math>n</math>次方根的時候，若指的是此數的主<math>n</math>次方根，則可以用根號（<math>\sqrt{\color{white} t}</math>）表示成<math>\sqrt[n]{a}</math>。例如：1024的主10次方根為2，就可以記作<math>\sqrt[10]{1024}=2</math>。當<math>n=2</math>時，則<math>n</math>可以省略。定義實數<math>a</math>的主<math>n</math>次方根為<math>a</math>的<math>n</math>次方根，且具有與<math>a</math>相同的正負號的唯一實數<math>b</math>。在<math>n</math>是偶數時，負數沒有主<math>n</math>次方根。習慣上，將2次方根叫做平方根，將3次方根叫做立方根。
方根也是冪的分數指數，即數<math>b</math>為數<math>a</math>的<math>\frac{1}{n}</math>次方：
- <math>b=\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}</math>
符號史[編輯]
最早的根號「√」源於字母「r」的變形（出自拉丁語latus的首字母，表示「邊長」），沒有線括號（即被開方數上的橫線），後來數學家笛卡爾給其加上線括號，但與前面的方根符號是分開的，因此在複雜的式子顯得很亂。直至18世紀中葉，數學家盧貝將前面的方根符號與線括號一筆寫成，並將根指數寫在根號的左上角，以表示高次方根（當根指數為2時，省略不寫。）。形成了現在所熟悉的開方運算符號<math>\sqrt{\color{white} x}</math>。
考慮在電腦中的輸入問題，有時也可以使用sqrt(a,b)來表示a的b次方根。
基本運算[編輯]
帶有根號的運算可由如下公式推導而得:
- <math>
\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \sqrt[n]{b} \qquad a \ge 0, b \ge 0 </math>
- <math>\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} \qquad a \ge 0, b > 0</math>
- <math>
\sqrt[n]{a^m} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m = \left(a^{\frac{1}{n}}\right)^m = a^{\frac{m}{n}}, </math>
這裏的a和b是正數。
對於所有的非零複數<math>a</math>，有<math>n</math>個不同的複數<math>b</math>使得<math>b^n=a</math>，所以符號<math>\sqrt[n]{a}</math>就會出現歧義（通常這樣寫是取<math>n</math>個值當中主幅角最小的）。<math>n</math>次單位根是特別重要的。
當一個數從根號形式轉換到冪形式，冪的規則仍適用（即使對分數冪），也就是
- <math>a^m a^n = a^{m+n}</math>
- <math>\left({\frac{a}{b}}\right)^m = \frac{a^m}{b^m}</math>
- <math>\left(a^m\right)^n = a^{mn}</math>
例如:
- <math>\sqrt[3]{a^5}\sqrt[5]{a^4} = a^{\frac{5}{3}} a^{\frac{4}{5}} = a^{\frac{5}{3} + \frac{4}{5}} = a^{\frac{37}{15}}</math>
- <math>\sqrt[3]{a^5} = \sqrt[3]{aaaaa} = \sqrt[3]{a^3a^2} = a\sqrt[3]{a^2}</math>
若已可以簡化根式表示式，則加法和減法就只是群的「同類項」問題。
例如
- <math>\sqrt[3]{a^5}+\sqrt[3]{a^8}</math>
- <math>=\sqrt[3]{a^3a^2}+\sqrt[3]{a^6 a^2}</math>
- <math>=a\sqrt[3]{a^2}+a^2\sqrt[3]{a^2}</math>
- <math>=({a+a^2})\sqrt[3]{a^2}</math>
不盡根數[編輯]
未經化簡的根數，一般叫做「不盡根數」（surd），可以處理為更簡單的形式。
如下恆等式是處理不盡根數的基本技巧:
- <math>\sqrt{a^2 b} = abs(a) \sqrt{b}</math>
- <math>\sqrt[n]{a^m b} = a^{\frac{m}{n}}\sqrt[n]{b}</math>
- <math>\sqrt{a} \sqrt{b} = \sqrt{ab}</math>
- <math>\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^{-1} = \frac{1}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})} = \frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})} = \frac{\sqrt{a}- \sqrt{b}} {a - b}</math>
無窮級數[編輯]
- <math>\begin{align}
&(1+x)^\frac{s}{t} = \sum_{n=0}^\infty \frac{\displaystyle\prod_{k=0}^n (s+t-kt)}{(s+t)n!t^n}x^n\\ &(|x|<1) \end{align}</math>
找到所有的方根[編輯]
任何數的所有的根，實數或複數的，可以通過簡單的演算法找到。這個數應當首先被寫為如下形式<math>ae^{i\varphi}</math>(參見歐拉公式)。接着所有的n次方根給出為:
- <math>e^{(\frac{\varphi+2k\pi}{n})i} \times \sqrt[n]{a}</math>
對於<math>k=0,1,2,\ldots,n-1</math>，這裏的<math>\sqrt[n]{a}</math>表示<math>a</math>的主<math>n</math>次方根。
正實數[編輯]
所有<math>x^n=a</math>或<math>a</math>的<math>n</math>次方根，這裏的<math>a</math>是正實數，的複數解由如下簡單等式給出:
- <math>e^{2\pi i \frac{k}{n}} \times \sqrt[n]{a}</math>
對於<math>k=0,1,2,\ldots,n-1</math>，這裏的<math>\sqrt[n]{a}</math>表示<math>a</math>的主<math>n</math>次方根。
解多項式[編輯]
曾經有數學猜想，認為多項式的所有根可以用根號和四則運算來表達；但是阿貝爾-魯菲尼定理斷言了這不是普遍為真的。例如，方程
- <math>\ x^5=x+1</math>
的解不能用根號表達。
要解任何n次方程，參見求根演算法。
演算法[編輯]
對於正數<math>A</math>，可以通過以下演算法求得<math>\sqrt[n]{A}</math>的值：
- 猜一個<math>\sqrt[n]{A}</math>的近似值，將其作為初始值<math>x_0</math>
- 設 <math>x_{k+1} = \frac{1}{n} \left[{(n-1)x_k +\frac{A}{x_k^{n-1}}}\right]</math>。記誤差為<math>\Delta x_k = \frac{1}{n} \left[{\frac{A}{x_k^{n-1}}} - x_k\right]</math>，即<math>x_{k+1} = x_{k} + \Delta x_k</math>。
- 重複步驟2，直至絕對誤差足夠小，即：<math>| \Delta x_k | < \epsilon</math>。
從牛頓法導出[編輯]
求<math>\sqrt[n]{A}</math>之值，亦即求方程<math>x^n-A=0</math>的根。
設<math>f(x)=x^n-A</math>，其導函數即<math>f'(x)=nx^{n-1}</math>。
以牛頓法作迭代，便得
- <math>x_{k+1} = x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)}</math>
- <math>= x_k - \frac{x_k^n - A}{n x_k^{n-1}}</math>
- <math>= x_k - \frac{x_k}{n}+\frac{A}{n x_k^{n-1}}</math>
- <math>= \frac{1}{n} \left[{(n-1)x_k +\frac{A}{x_k^{n-1}}}\right]</math>
從牛頓二項式定理導出[編輯]
設<math>x_k</math>為迭代值，<math>y</math>為誤差值。
令<math>A=(x_k-y)^n</math>（*），作牛頓二項式展開，取首兩項：<math>A\approx x_k^n-n x^{n-1}_k y</math>
調項得<math>y\approx \frac{x_k^n-A}{n x_k^{n-1}}=\frac1n \left(x_k - \frac{A}{x_k^{n-1}}\right)</math>
將以上結果代回（*），得遞歸公式<math>x_{k+1}=x_k-y=\frac{1}{n} \left[{(n-1)x_k +\frac{A}{x_k^{n-1}}}\right]</math>
