旋量群

数学中，旋量群 Spin(n) 是特殊正交群 SO(n) 的二重覆叠，使得存在李群的短正合列：

<math>1 \to \mathbb{Z}_2 \to \operatorname{Spin}(n) \to \operatorname{SO}(n) \to 1</math> 。

对 n > 2， Spin(n) 单连通，从而是 SO(n) 的万有覆叠空间。作为李群 Spin(n) 及其李代数和特殊正交群 SO(n) 有相同的维数 n(n − 1)/2。

Spin(n) 可以构造为克利福德代数 Cℓ(n) 可逆元群的一个子群。Spin(n) 由所有写成个偶数个单位向量的克利福德乘积的元素生成。对应到 SO(n) 中恰是沿着垂直于这偶数个向量的超平面的反射的复合。

巧合同构

当维数比较低时，典型李群之间存在同构，称为“巧合同构”。例如，低维旋量群和一定的典型李群同构，这是因为不同的低维单李代数的根系之间存在同构。特别的我们有：

Spin(1) = O(1) = Z₂

Spin(2) = U(1) = SO(2) = S¹

Spin(3) = Sp(1) = SU(2) = HU(1) = S³

Spin(4) = Sp(1) × Sp(1)

Spin(5) = Sp(2) = HU(2)

Spin(6) = SU(4)

对 n = 7，8 仍然有退化的同构，细节可参见 Spin(8)；对更高的维数，这样的同构完全消失。

不定符号差

对于不定符号差，旋量群 Spin(p,q) 通过克利福德代数用类似于标准旋量群的方式构造，由能写成偶数个模+1和偶数个模-1单位向量的克利福德乘积的元素生成。它是一个 SO₀(p,q)（不定正交群 SO(p,q) 含单位元连通分支）的连通二重复叠。Spin(p,q) 的连通性不同作者有不同的约定，此文中取 p+q>2 时连通。不定符号低维时，也有一些巧合同构：

Spin(1,1) = GL(1,R)

Spin(2,1) = SL(2,R)

Spin(3,1) = SL(2,C)

Spin(2,2) = SL(2,R) × SL(2,R)

Spin(4,1) = Sp(1,1)

Spin(3,2) = Sp(4,R)

Spin(5,1) = SL(2,H)

Spin(4,2) = SU(2,2)

Spin(3,3) = SL(4,R)

注意有 Spin(p,q) = Spin(q,p)。

拓扑

连通且单连通的李群由它们的李代数决定。所以，如果 G 是具有单李代数的连通李群，G′ 是 G 的万有覆叠，有包含：

<math> \pi_1 (G) \subset Z(G'), </math>

这里 Z(G′) 是 G 的中心。这个包含映射和 G 的李代数 <math>\mathfrak{g}</math> 完全确定了 G （注意 <math>\mathfrak{g}</math> 和 <math>\pi_1 (G)</math> 不能完全确定 G，例如 SL(2,R) 和 PSL(2,R) 有相同的李代数和基本群 <math>\mathbb{Z}</math>，但却不同构）。

定符号 Spin(n) 对 n > 2 都是单连通的，所以它们是 SO(n) 的万有覆叠。不定符号时，Spin(p,q) 的极大紧子群是

<math>(\mbox{Spin}(p) \times \mbox{Spin}(q))/ \{(1,1),(-1,-1)\}</math>。

这样我们就可计算出 Spin(p,q) 的基本群：

<math>\pi_1(\mbox{Spin}(p,q)) = \begin{cases}

\{0\} & (p,q)=(1,1) \mbox{ or } (1,0) \\ \{0\} & p > 2, q = 0,1 \\ \mathbb{Z} & (p,q)=(2,0) \mbox{ or } (2,1) \\ \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} & (p,q) = (2,2) \\ \mathbb{Z} & p > 2, q=2 \\ \mathbb{Z}_2 & p >2, q >2 \\ \end{cases}</math>

对 <math>p, q>2</math>，这意味着映射 <math>\pi_1(\mbox{Spin}(p,q)) \to \pi_1(SO(p,q))</math> 由 <math> 1 \in \mathbb{Z}_2</math> 映到 <math>(1,1) \in \mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_2</math> 给出； 对 p=2，q>2，映射由 <math>1 \in \mathbb{Z} \to (1,1) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}_2</math> ；最后，对 p = q = 2， <math>(1,0) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}</math> 映到 <math>(1,1) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} </math> 而 <math>(0,1)</math> 映到 <math>(1,-1)</math> 。

相关条目

• 反射
• Pin 群
• 旋量
• 旋量丛
• 任意子
• 自旋结构
• 克利福德代数
• 定向缠结
• 复自旋群

参考文献

• F.Reece Harvey, Spinors and Calibrations, Academic Press, Inc., 1990.
• Pertti Lounesto, Clifford Algebras and Spinors, LMSLNS 239, Cambridge University Press,1997.
• PlanetMath, Spin Groups （页面存档备份，存于互联网档案馆）.