Sinc函数
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sinc函数（英语：sinc function）是一种函数，在不同的领域它有不同的定义。数学家们用符号 <math>\mathrm{sinc}(x)\,</math> 表示这种函数。 sinc函数可以被定义为归一化的或者非归一化的，不过两种函数都是正弦函数和单调的递减函数 1/x的乘积：
- 在数字信号处理和通信理论中，人们把归一化sinc函数定义为
- 对于所有x ≠ 0，<math>\mathrm{sinc}(x) = \frac{\sin(\pi x)}{\pi x}</math>
- 在数学领域中，人们以前使用的非归一化sinc函数 （for sinus cardinalis）被定义为
- 对于所有x ≠ 0， <math>\mathrm{sinc}(x) = \frac{\sin(x)}{x}</math>
在这两种情况下，当x=0时sinc函数的值被定义为以下的极限值，因此 sinc 函数是处处可解析的。
- 对于任何实数 a ≠ 0，<math>\operatorname{sinc}(0):=\lim_{x\to 0}\frac{\sin(a x)}{a x}= 1</math>
非归一化sinc函数等同于归一化sinc函数，只是它的变量中没有放大系数 π 。
属性[编辑]
归一化 sinc 函数的特性使得它在插值与带限函数中得到理想应用：
- 对于 <math>k\ne 0\,</math> 与 <math>k\in\mathbb{Z}\,</math>（整数），<math>\mathrm{sinc}(0) = 1\,</math> 和 <math>\mathrm{sinc}(k) = 0\,</math>；也就是说，它是一个插值函数。
- 函数 <math>x_k(t)=\mathrm{sinc}(t-k) \ </math> 在函数空间 <math>L^2(\R)</math> 形成一个带限函数的正交基，它的最大角频率是 <math>\omega_\mathrm{H}=\pi\,</math> ，也就是说最大的循环频率是 <math>f_\mathrm{H}=1/2\,</math>。
这两个 sinc 函数的其它特性包括：
- 非归一化 sinc 函数 <math>\begin{matrix}\frac{\sin(x)}{x} \end{matrix}\,</math>；对应于它与余弦函数的交点。也就是说，如果 <math>\begin{matrix}\frac{\sin(x)}{x} \end{matrix}\,</math> 的导数是 0 ，即在 <math>x = a\,</math> 有极值，那么 <math>\begin{matrix}\frac{\sin(a)}{a} \end{matrix} = \cos(a) \,</math> 。
- 非归一化 sinc 是第一类零阶球贝塞尔函数<math>j_0(x) = \begin{matrix}\frac{\sin(x)}{x} \end{matrix}\,</math>。归一化 sinc 是 <math>j_0(\pi x)\,</math>。
- 非归一化 sinc 的过零点是 <math>\pi\,</math> 的非零倍数；归一化 sinc 函数 <math>\mathrm{sinc}(x) = \begin{matrix}\frac{\sin(\pi x)}{\pi x} \end{matrix}\,</math> 的过零点出现在非零整数。
- 归一化 sinc 函数 <math>\mathrm{sinc}(x) = \begin{matrix}\frac{\sin(\pi x)}{\pi x} \end{matrix}\,</math> 的对于普通频率的连续傅里叶变换是 <math>\mathrm{rect}(f)\,</math>。
- <math>\int_{-\infty}^\infty \mathrm{sinc}(t)\,e^{-2\pi i f t}dt = \mathrm{rect}(f)</math>,
- 其中矩形函数在 –1/2 到 1/2 之间值为 1，在其它区域值为 0。
- 积分
- <math>\int_{-\infty}^\infty \begin{matrix}\frac{\sin(\pi x)}{\pi x} \end{matrix}\, dx = 1</math>
- 是广义积分。因为：
- <math>\int_{-\infty}^\infty \left|\begin{matrix}\frac{\sin(\pi x)}{\pi x} \end{matrix}\right|\ dx = \infty \,</math>
所以它不是勒贝格积分。
- <math> \mathrm{sinc}(x) = \frac{\sin \pi x}{\pi x} = \prod_{n=1}^\infty \left(1 - \frac{x^2}{n^2}\right)</math>
- <math> \mathrm{sinc}(x) = \frac{\sin \pi x}{\pi x} = \frac{1}{\Gamma(1+x)\Gamma(1-x)} = \frac{1}{x! (-x)!}</math>
- 其中 <math>\Gamma(x)</math> 是 Γ函数。
与狄拉克δ分布的关系[编辑]
尽管不是分布，归一化 sinc 函数也可以作为 nascent δ函数（参见狄拉克δ函数）使用。
归一化 sinc 函数通过下式与δ分布 δ(x) 发生联系
- <math>\lim_{a\rightarrow 0}\frac{1}{a}\textrm{sinc}(x/a)=\delta(x).</math>
由于等式左侧并不收敛，所以这不是普通的 limit，而是说明对于任意的紧支撑平滑函数 <math>\varphi(x)</math> 有
- <math>\lim_{a\rightarrow 0}\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{a}\textrm{sinc}(x/a)\varphi(x)\,dx
=\int_{-\infty}^\infty\delta(x)\varphi(x)\,dx = \varphi(0),
</math>
在上面的表达式中，随着 a 趋近于 0，sinc 函数每个单元长度上的振动次数趋近于无限，然而不管 a 是什么值，这个表示通常在 ±1/(πx) 内振动。这与 δ(x) 的非正式表示有所矛盾，δ(x) 除了 x=0 之外其它 x 上的值都是 0，这表明了将δ函数作为函数而不是分布带来的问题。在吉布斯现象（Gibbs phenomenon）中也有类似的状况。
