不等

数学上，不等是表明两个对象的大小或者顺序的二元关系，与相等相对。不等关系主要有四种：

• <math>a<b</math>，即<math>a</math>小于<math>b</math>
• <math>a>b</math>，即<math>a</math>大于<math>b</math>

上述两个属于严格不等。

• <math>a\leq b</math>，即<math>a</math>小于等于<math>b</math>
• <math>a\geq b</math>，即<math>a</math>大于等于<math>b</math>
• <math>a\neq b</math>，即<math>a</math>不等于<math>b</math>

将两个表达式用不等符号连起来，就构成了不等式。

若不等关系对变量的所有元素都成立，则称其为“绝对的”或“无条件的”。若不等关系只对变量的部分取值成立，而对另一部分将改变方向或失效，则称为条件不等。

不等式两边同时加或减相同的数，或者两边同时乘以或除以同一个正数，不等关系不变。不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等关系改变方向。

符号<math>a\gg b</math>表示<math>a</math>“远大于”<math>b</math>。其含义是不确定的，可以是 100 倍的差异，也可能是10个数量级的差异。和方程相联系，它被用来给出一个非常大的值而使方程的输出满足一个特定的结果。

性质

不等具有下列性质：

三分律：

对任意实数<math>a</math>、<math>b</math>，只有下列之一是真的：

• <math>a<b</math>
• <math>a=b</math>
• <math>a>b</math>

调换性质：

对任意实数<math>a</math>、<math>b</math>：

• <math>a < b</math> 和 <math>b > a</math> 是等价的。
• <math>a \le b</math> 和 <math>b \ge a</math> 是等价的。

传递性：

对任意实数<math>a</math>、<math>b</math>、<math>c</math>：

• 如果 <math>a < b</math> 且 <math>b < c</math>，则 <math>a<c</math>。
• 如果 <math>a \le b</math> 且 <math>b \le c</math>，则 <math>a \le c</math>。
• 如果 <math>a < b</math> 且 <math>b \le c</math>，则 <math>a < c</math>。
• 如果 <math>a \le b</math> 且 <math>b < c</math>，则 <math>a < c</math>。

加法性质：

对任意实数<math>a</math>、<math>b</math>、<math>c</math>：

• 若 <math>a > b</math>；则 <math>a + c > b + c</math> 。
• 若 <math>a < b</math>；则 <math>a + c < b + c</math>。

乘法性质：

对任意实数<math>a</math>、<math>b</math>、<math>c</math>，且有<math>c\ne 0</math>：

• 若<math>c</math>为 正数 且 <math>a > b</math>；则 <math>ac > bc</math>。
• 若<math>c</math>为 正数 且 <math>a < b</math>；则 <math>ac < bc</math> 。
• 若<math>c</math>为 负数 且 <math>a > b</math>；则 <math>ac < bc</math> 。
• 若<math>c</math>为 负数 且 <math>a < b</math>；则 <math>ac > bc</math>。

注意：当遇上不等关系求解时，比如已知 <math>A>B</math>，<math>C>D</math>，不可以认为 <math>A-C>B-D</math>，但根据此描述可知 <math>A-D>B-C</math> 是真的。

链式表示法

• <math>a < b < c</math> 代表“<math>a < b</math> 且 <math>b < c</math>”。
• <math>a \le b \le c</math> 代表“<math>a \le b</math> 且 <math>b \le c</math>”。
• <math>a < b \le c</math> 代表“<math>a < b</math> 且 <math>b \le c</math>”。
• <math>a \le b < c</math> 代表“<math>a \le b</math> 且 <math>b < c</math>”。

举例

• 若<math>x>0</math> ；则

<math>x^x \ge \left( \frac{1}{e}\right)^\frac{1}{e},</math>

• 若<math>x>0</math>；则

<math>x^{x^x} \ge x\,</math>

• 若<math>x,y,z>0</math>；则

<math>(x+y)^z + (x+z)^y + (y+z)^x > 2\,</math>

• 若<math>x,y,z>0</math>；则

<math>x^x y^y z^z \ge (xyz)^\frac{x+y+z}{3},</math>

• 若<math>a,b>0</math>；则

<math>a^a + b^b \ge a^b + b^a\,</math>

• 若<math>a,b>0</math>；则

<math>a^{ea} + b^{eb} \ge a^{eb} + b^{ea}\,</math>

• 若<math>a,b,c>0</math>；则

<math>a^{2a} + b^{2b} + c^{2c} \ge a^{2b} + b^{2c} + c^{2a}\,</math>

• 若<math>a_1,\ldots,a_n>0</math>；则

<math>a_1^{a_2}+a_2^{a_3}+\cdots+a_n^{a_1}>1</math>

• 对于实数 <math>a</math>、<math>b</math>、<math>c</math>、<math>d</math>，若 <math>a < b</math> 且 <math>c < d</math>；则

  <math>a + c < b + d</math>

  例-1

  证明
  <math>a < b</math> (10) [前提] <math>c < d</math> (15) [前提] <math>a - b< 0</math> (20) 源自 (10) <math>0 < d - c</math> (25) 源自 (15) (20) 及 (25) 经由传递性质可以得到 <math>a - b < d - c</math> (30) 源自 (20) (25) <math>a - b + (b + c) < d - c + (b + c)</math> (35) 源自 (30) <math>a + c < b + d</math> (40) 源自 (35) [结论]

• 对于实数 <math>a</math>、<math>b</math>、<math>c</math>、<math>d</math>，若 <math>a < b</math> 且 <math>c < d</math>；则

<math>a - d < b - c</math>

例-2

证明
<math>a < b</math> (45) [前提] <math>c < d</math> (50) [前提] <math>- c > - d</math> (55) 源自 (50) <math>- d < - c</math> (60) 源自 (55) (45) 及 (60) 经由 (例-1) 可以得到 <math>a + (- d) < b + (- c)</math> (65) 源自 (45) (60) <math>a - d < b - c</math> (70) 源自 (65) [结论]

参见

• 二元关系
• 偏序关系
• 不等号
• 不等式列表