完全数

File:Perfect number Cuisenaire rods 6.png

以古氏积木演示完全数6

完全数（perfect number），又称完美数或完备数，是一些特殊的自然数：它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和，恰好等于它本身，完全数不可能是楔形数、平方数、佩尔数或费波那契数。

例如：第一个完全数是6，它有约数1、2、3、6，除去它本身6外，其余3个数相加，<math>{ {{ {1}+{2} }}+{3} } = 6 </math>，恰好等于本身。第二个完全数是28，它有约数1、2、4、7、14、28，除去它本身28外，其余5个数相加，<math>{ {{ {{ {{ {1}+{2} }}+{4} }}+{7} }}+{14} } = 28 </math>，也恰好等于本身。后面的数是496、8128。

十进制的5位数到7位数、9位数、11位数、13到18位数等位数都没有完全数，它们不是亏数就是盈数。

完全数的发现

古希腊数学家欧几里得是通过<math>2^{n-1} \times(2^n-1)</math> 的表达式发现前四个完全数的。

当<math>n=2:</math><math>{ {{ {2}^{1} }}\times {\left( { {{ {2}^{2} }}1} }\right) } } = 6 </math>

当<math>n=3:</math><math>{ {{ {2}^{2} }}\times {\left( { {{ {2}^{3} }{1} }\right) } } = 28 </math>

当<math>n=5:</math><math>{ {{ {2}^{4} }}\times {\left( { {{ {2}^{5} }}1} }\right) } } = 496 </math>

当<math>n=7:</math><math>{ {{ {2}^{6} }}\times {\left( { {{ {2}^{7} }{1} }\right) } } = 8128 </math>

一个偶数是完美数，当且仅当它具有如下形式：<math>2^{n-1}(2^n-1)</math>，其中<math>2^n-1</math>是素数，此事实的充分性由欧几里得证明，而必要性则由欧拉所证明。

比如，上面的<math>6</math>和<math>28</math>对应着<math>n=2</math>和<math>3</math>的情况。我们只要找到了一个形如<math>2^n-1</math>的素数（即梅森素数），也就知道了一个偶完美数。

尽管没有发现奇完全数，但是当代数学家奥斯丁·欧尔证明，若有奇完全数，则其形式必然是<math>12n+1</math>或<math>36n+9</math>的形式，其中<math>n</math>是整数。

首十个完全数是（OEIS A000396）：

1. 6（1位）
2. 28（2位）
3. 496（3位）
4. 8128（4位）
5. 33550336（8位）
6. 8589869056（10位）
7. 137438691328（12位）
8. 2305843008139952128（19位）
9. 2658455991569831744654692615953842176（37位）
10. 191561942608236107294793378084303638130997321548169216（54位）

历史

古代数学家根据当时已知的四个完全数做了很多假设，大部分都是错误的。其中的一个假设是：因为 2、3、5、7 恰好是头 4 个素数，第 5 个完全数应该是第 5 个素数，即当 <math>n=11</math> 的时候，可是 <math>2^{11}-1=23 \times 89</math> 并不是素数。因此 <math>n=11</math> 不是完全数。另外两个错误假设是：

• 头四个完全数分别是 1、2、3、4 位数，第五个应该是 5 位数。
• 完全数应该是交替以 6 或 8 结尾。

事实上，第五个完全数 <math>33550336=2^{12}(2^{13}-1)</math> 是 <math>8</math> 位数。

对于第二个假设，第五个完全数确实是以 <math>6</math> 结尾，但是1588年，意大利数学家彼得罗·卡塔尔迪计出第六个完全数 <math>8589869056</math>，仍是以 <math>6</math> 结尾，只能说欧几里得的公式给出的完全数以 <math>6</math> 和 <math>8</math> 结尾。卡塔尔迪证明了此结论。此外，还计出第七个完全数137,438,691,328。

对完全数的研究，至少已经有两千多年的历史。《几何原本》中就提出了寻求某种类型完全数的问题。

每一个梅森素数给出一个偶完全数；反之，每个偶完全数给出一个梅森素数，这结果称为欧几里得－欧拉定理。截至2024年10月 (2024-10)，共发现了52个完全数，且都是偶数。最大的已知完全数为<math>2^{136279840} \times (2^{136279841}-1)</math>共有<math>82048640</math>位数。

性质

以下是目前已发现的完全数共有的性质。

• 偶完全数都是以6或28结尾。
• 如果存在奇完全数，它在十二进制中必定以1, 09, 39, 69或99结尾。
• 而如果存在奇完全数，它在六进制中必定以01, 13, 21或41结尾。
• 除了6以外的偶完全数，把它的各位数字相加，直到变成个位数，那么这个个位数一定是1：

<math> 28</math> → <math>2+8=10</math> → <math>1+0=1</math>
<math>496</math> → <math>4+9+6=19</math> → <math>1+9=10</math> → <math>1+0=1</math>

• 所有的偶完全数都可以表达为2的一些连续正整数次幂之和，从<math>2^{p-1}</math>到<math>2^{2p-2}</math>：

<math>6=2^1+2^2</math>
<math>28=2^2+2^3+2^4</math>
<math>496=2^4+2^5+2^6+2^7+2^8</math>
<math>8128=2^6+2^7+...+2^{12}</math>

• 每个偶完全数都可以写成连续自然数之和：

<math>6=1+2+3</math>
<math>28=1+2+3+4+5+6+7</math>
<math>496=1+2+3+...+30+31</math>
<math>8128=1+2+3+...+126+127</math>

• 除6以外的偶完全数，还可以表示成连续奇立方数之和（被加的项共有<math>\sqrt{2^{p-1}}</math>)：

<math>28=1^3+3^3</math>
<math>496=1^3+3^3+5^3+7^3</math>
<math>8128=1^3+3^3+5^3+...+15^3</math>
<math>33550336=1^3+3^3+5^3+...+127^3</math>

• 每个完全数的所有约数（包括本身）的倒数之和，都等于2：（这可以用通分证得。因此每个完全数都是欧尔调和数。）

<math>\frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} =\frac{6+3+2+1}{6}= 2</math>
<math>\frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{7} + \frac{1}{14} + \frac{1}{28} = \frac{28+14+7+4+2+1}{28}=2</math>

• 它们的二进制表达式也很有趣：（因为偶完全数形式均如<math>2^{n-1}(2^n-1)</math>，所以左边的１数量永远比右边的０多１个）

<math>(6)_{10}=(110)_2</math>
<math>(28)_{10}=(11100)_2</math>
<math>(496)_{10}=(111110000)_2</math>
<math>(8128)_{10}=(1111111000000)_2</math>
<math>(33550336)_{10}=(1111111111111000000000000)_2</math>
<math>(8589869056)_{10}=(111111111111111110000000000000000)_2</math>
<math>(137438691328)_{10}=(1111111111111111111000000000000000000)_2</math>

• 有趣的是，以繁体字书写“完全数”刚好是28划。

奇完全数

截至2024年6月30日，用计算机已经证实：在10²²⁰⁰以下，没有奇完全数；至今还证明了，如果奇完全数存在，则它至少包含11个不同素数（包含一个不少于7位数的素因子）但不包含3，亦不会是立方数。一般猜测奇完全数是不存在的；完全数是否有无限多个也至今未能证明。

美国数学家卡尔·帕梅朗斯提出了一个想法说明奇完全数不太可能存在。

奇完全数的部分条件

• N > 10²²⁰⁰
• N是以下形式：

<math>N=q^{\alpha} p_1^{2e_1} \ldots p_k^{2e_k}, </math>

其中：

• q，p₁，…，p_k是不同的素数（Euler）。
• q ≡ α ≡ 1 (mod 4)（Euler）。
• N的最小素因子必须小于<math>\frac{k-1}{2}.</math>。
• <math>e_1</math>≡<math>e_2</math>...≡<math>e_k</math> ≡ 1（mod 3）的关系不能满足（McDaniel 1970）。
• 要么q^α > 10⁶²，要么对于某个j有<math>p_j^{2e_j}</math> > 10⁶²。
• <math> N < 2^{(4^{k+1}-2^{k+1})}</math>

• N必须可以写成12n+1，468n+117或324n+81（n为整数）的形式。
• N不能被105整除。
• N的最大素因子必须大于10⁸，并低于 <math>(3N)^{1/3}</math>。。
• N的第二大素因子必须大于10⁴，并低于<math>(2N)^{1/5}</math>。 。
• N的第三大素因子必须大于100。
• N至少要有101个素因子，其中至少10个是不同的。 如果3不是素因子之一，则至少要有12个不同的素因子。

• 如果对于所有的i，都有<math>e_i</math> ≤ 2，那么：
  • N的最小素因子必须大于739（Cohen 1987）。
  • α ≡ 1（mod 12）或α ≡ 9 (mod 12)（McDaniel 1970）。

图查德定理

这个定理说明若存在奇完全数，其形式必如<math>12m+1</math>或<math>36q+9</math>。最初的证明在1953年由雅克·图查德首先证明，1951年巴尔塔萨·范德波尔用非线性偏微分方程得出证明。茱蒂·霍尔德纳在《美国数学月刊》第109卷第7期刊证了一个初等的证明。

证明会使用这四个结果：（下面的n,k,j,m,q均为正整数）

• 欧拉证明了奇完全数的形式必如<math>4j+1</math>。
• <math>\sigma(n)</math>表示<math>n</math>的正因数之和。完全数的定义即为<math>2n = \sigma(n)</math>。
  <math>\sigma(n)</math>为积性函数
• 引理（甲）：若<math>n=6k-1</math>（<math>k</math>是正整数），则<math>n</math>非完全数。
• 引理（乙）：若<math>n=4k-1</math>（<math>k</math>是正整数），则<math>n</math>非完全数。

引理的证明（甲）：

使用反证法，设<math>n</math>为完全数，且<math>n \equiv -1 \pmod{6}</math>。

<math>n \equiv -1 \pmod{3}</math>。因为3的二次剩余只有0,1，故<math>n</math>非平方数，因此其正因数个数为偶数。

<math>n</math>有正因数<math>d</math>，则可得：

<math>d \equiv 1 \pmod{3}</math>且<math>n/d \equiv -1 \pmod{3}</math>；或

<math>d \equiv -1 \pmod{3}</math>且<math>n/d \equiv 1 \pmod{3}</math>。

因此，<math>(n/d + d) \equiv 0 \pmod{3}</math>。故<math>\sigma(n) = \sum_{ d < \sqrt{n} } d + n/d \equiv 0 \pmod{3}</math>。

但<math>2n \equiv 2(-1) \equiv 1 \pmod{3}</math>，矛盾。

故<math>n</math>的形式只可能为<math>6k+1</math>或<math>6k+3</math>。

引理的证明（乙）：

使用反证法，设<math>n</math>为完全数，且<math>n \equiv -1 \pmod{4}</math>。

<math>n \equiv -1 \pmod{4}</math>。因为4的二次剩余只有0,1，故<math>n</math>非平方数，因此其正因数个数为偶数。

<math>n</math>有正因数<math>d</math>，则可得：

<math>d \equiv 1 \pmod{4}</math>且<math>n/d \equiv -1 \pmod{4}</math>；或

<math>d \equiv -1 \pmod{4}</math>且<math>n/d \equiv 1 \pmod{4}</math>。

因此，<math>(n/d + d) \equiv 0 \pmod{4}</math>。故<math>\sigma(n) = \sum_{ d < \sqrt{n} } d + n/d \equiv 0 \pmod{4}</math>。

但<math>2n \equiv 2(-1) \equiv 2 \pmod{4}</math>，矛盾。

故<math>n</math>的形式只可能为<math>4k+1</math>。

若<math>n=6k+1</math>，根据欧拉的结果，<math>n=4j+1</math>，综合两者，得<math>n=12m+1</math>。

若<math>n=6k+3</math>，<math>n=4j+1</math>，得<math>n=12m+9=3(4m+3)</math>。若<math>m</math>非3的倍数，3和<math>4m+3</math>互素。

因为<math>\sigma(n)</math>为积性函数，可得<math>\sigma(n)=\sigma(3) \sigma(4m+3) = 4 \sigma(4m+3) \equiv 0 \pmod{4}</math>。

但<math>2n=2(4j+1) \equiv 2 \pmod{4}</math>，出现了矛盾。故知<math>m</math>是3的倍数。代入<math>m=3q</math>，可得<math>n=36q+9</math>。

参考

• Odd Perfect Numbers（页面存档备份，存于互联网档案馆）, Gagan Tara Nanda

参见

• 高合成数
• 婚约数
• 亲和数
• 盈数
• 亏数
• 梅森素数
• 半完全数
• 佩服数
• 超完全数
• 梅森素数与完全数集合
• 笛卡尔数

外部链接

• Perfect number, 数学百科全书, EMS Press, 2001 （English） 
• David Moews: Perfect, amicable and sociable numbers（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Perfect numbers – History and Theory（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• 埃里克·韦斯坦因. Perfect Number. MathWorld. 
• Sloane, N.J.A. (编). Sequence A000396 (Perfect numbers). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. 
• OddPerfect.org A projected distributed computing project to search for odd perfect numbers.
• Great Internet Mersenne Prime Search
• Perfect Numbers（页面存档备份，存于互联网档案馆）, math forum at Drexel.
• Grimes, James. 8128: Perfect Numbers. Numberphile. Brady Haran. [2015-01-10]. （原始内容存档于2013-05-31）.