预序关系

预序关系（简称预序，又称先序，preorder）、在数学中，是一类接近于偏序关系的二元关系，但仅满足自反性和传递性而不满足反对称性。偏序的大多数理论均可扩展到预序。

定义

考虑集合 <math>P</math> 及其上的二元关系 <math>\lesssim</math>。若 <math>\lesssim</math> 具有自反性和传递性，则称 <math>\lesssim</math> 为预序。具体来说，对任意 <math>P</math> 的元素 <math>a</math>，<math>b</math> 和 <math>c</math>，下列性质成立：

<math>a\lesssim a</math>（自反性）

若 <math>a\lesssim b</math> 且 <math>b\lesssim c</math> ，则 <math>a\lesssim c</math> （传递性）

带预序的集合称为预序集合。同时满足反对称性（若 <math>a\lesssim b</math> 且 <math>b\lesssim a</math>，则 <math>a = b</math>）的预序为偏序。

说明

作为特例，空集上的空关系为一预序。空集加上空关系构成一预序集。

导出偏序

将预序集的等价元素等同起来，可得到由该预序集所导出的偏序集。具体过程如下：定义预序集 <math>X</math> 上的等价关系 <math>\sim \,</math>，使得 <math>a\sim b</math> 当且仅当 <math>a\lesssim b</math> 且 <math>b\lesssim a</math> 。定义所得商集 <math>X / \mathrm{\sim}</math>（所有 <math>\sim \,</math> 的等价类构成的集合）上的序关系 <math>\le</math> ，使得<math>[x]\le [y]</math> 当且仅当 <math>x\lesssim y</math>。由 <math>\sim \,</math> 的构造可知，<math>\le</math> 的定义与所选等价类的代表元素无关，故上述定义明确。易证该关系为一偏序。

举例

• 拓扑学中，网收敛的定义使用预序比使用偏序可避免重要特征的丢失。
• 可数全序的嵌入关系。
• 图论中的图子式关系（罗伯逊-西摩定理）
• 多种经济学模型的偏好。

参见

• 二元关系
• 偏序关系
• 全序关系
• 等价关系
• 有向集合
• 预序范畴
• 良拟序

参考文献

• Schröder, Bernd S. W., Ordered Sets: An Introduction, Boston: Birkhäuser, 2002, ISBN 0-8176-4128-9