零元素

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数学里的零元素是将0拓展到其他代数结构后所得的概念。

加法单位元[编辑]

加法单位元是阿贝尔群或幺半群里的单位元。加法单位元对应元素0，使得针对所有群里的x，0 + x = x + 0 = x。以下是一些加法单位元的例子：

  • 向量加法里的零向量：是所有分量都为0的向量，在赋范向量空间里的范数（长度）也是0，常表示为<math>\mathbf{0}</math>或<math>\vec{0}</math>[1]。
  • 零函数或零映射z(x) = 0，在逐点加法下(f + g)(x) = f(x) + g(x)为加法单位元
  • 并集下的空集合
  • 空和或空余积（英语：coproduct）（empty coproduct）
  • 范畴概念里的始对象（空的余积，在余积中是单位元素）

吸收元素[编辑]

乘法半群或半环里的吸收元素（英语：absorbing element）（absorbing element）推广0 ⋅ x = 0的性质。以下是一些例子：

  • 空集，在集合的笛卡儿积下是吸收元素，因为{ } × S = { }。
  • 由z(x) = 0所定义的零函数或是零映射，在逐点乘法(f ⋅ g)(x) = f(x) ⋅ g(x)下是吸收元素。

许多吸收元素也是加法单位元，包括空集和零函数。另一个重要的例子是域或环结构的特殊元素0，是加法单位元也是吸收元素，其主理想是最小的理想。

零对象[编辑]

范畴里的零对象（zero object）是始对象和终对象（因此在范畴论的空余积（英语：coproduct）和积里都是单位元素)。例如，在态射必须将单位元素映射到单位元素的范畴中，平凡结构（只包括单位元素）是零对象。特别的例子有：

  • 当然群，包括单位元素（群范畴里的零物件)。
  • 零模组（zero module），只包含单位元素（环上模范畴中的零物件）。

零态射[编辑]

范畴里的零态射（zero morphism）是在复合函数下的广义吸收元素：任何和零态射复合的态射都是零态射。特别，若0XY : X → Y是从X到Y态射下的零态射，且f : A → X和g : Y → B是任意态射，则g ∘ 0XY = 0XB且0XY ∘ f = 0AY。

若范畴有零对象0，则有典范态射X → 0和0 → Y,，两者复合会得到零态射0XY : X → Y。例如，在群范畴里，零态射是永远会传回群单位元素的态射，因此是广义的z(x) = 0函数。

最小元素[编辑]

偏序关系或是格的最小元素有时会称为零元素，写成0或是⊥。

零模[编辑]

数学里的零模（zero module）是模里只包括其加法函数之单位元素的模。若针对整数，加法单位元是0，因此称为零模。很容易证明零模是模：其显然在加法和乘法下封闭。

零理想[编辑]

数学中，环 <math>R</math> 里的零理想（zero ideal）是只包括加法单位元（或零元素）的理想 <math>\{ 0 \}</math>。零理想是理想也可以直接由以上定义推得。

零矩阵[编辑]

主条目：零矩阵

数学中，特别是线性代数中，零矩阵是指其元素都为0的矩阵。一般会用符号<math>O</math>表示[2]。以下是一些零矩阵的例子

<math>

0_{1,1} = \begin{bmatrix} 0 \end{bmatrix} ,\ 0_{2,2} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} ,\ 0_{2,3} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} ,\ </math>

所有元素在环 K里，大小m × n的矩阵集合，形成模<math>K_{m,n}</math>。<math>K_{m,n}</math>里的零矩阵<math>0_{K_{m,n}}</math>是其所有元素都是<math>0_K</math>的矩阵，其中 <math>0_K</math>是K的加法单位元。

<math>

0_{K_{m,n}} = \begin{bmatrix} 0_K & 0_K & \cdots & 0_K \\ 0_K & 0_K & \cdots & 0_K \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0_K & 0_K & \cdots & 0_K \end{bmatrix} </math>

零矩阵是<math>K_{m,n}</math>里的加法单位元。也就是，对于所有<math>A \in K_{m,n}</math>:

<math>0_{K_{m,n}}+A = A + 0_{K_{m,n}} = A</math>

针对给定大小m × n的矩阵，元素来自特定的环，只有一个零矩阵，因此不会有歧义，一般会直接称为零矩阵。在矩阵环里，零矩阵是加法单位元也是吸收元素。一般来说，环里的零元素唯一，一般会直接标示0，不会用下标标示对应的环。因此上例是针对任何环的零矩阵。

零矩阵也是将所有向量映射到零向量的线性映射。

零张量[编辑]

数学里的零张量（zero tensor）是任意阶，其元素都为零的张量。一阶的零张量也称为零向量。

任何张量和零张量作张量积，所得的都是零张量。不论是哪一种类的张量，零张量都是其加法单位元。

相关条目[编辑]

参考资料[编辑]

  1. ^ Nair, M. Thamban; Singh, Arindama. Linear Algebra. Springer. 2018: 3. Bibcode:2018lial.book.....N. ISBN 978-981-13-0925-0. doi:10.1007/978-981-13-0926-7. 
  2. ^ Lang, Serge. Linear Algebra. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer. 1987: 25. ISBN 9780387964126. We have a zero matrix in which <math> a_{ij} = 0 </math> for all <math> i, j </math>. ... We shall write it <math> O </math>. 
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